Tính tích phân không xác định

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân không xác định và áp dụng nó vào bài toán cụ thể sau đây: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} \] Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân bằng thay đổi biến số. Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện một thay đổi biến số bằng cách đặt \(u = x^2\). Khi đó, \(du = 2x dx\) và \(x dx = \frac{1}{2} du\). Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{4}+x^{2}+1}} dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{u^2+u+1}} \cdot \frac{1}{2} du \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện một thay đổi biến số khác bằng cách đặt \(v = u + \frac{1}{2}\). Khi đó, \(dv = du\) và \(u = v - \frac{1}{2}\). Thay thế vào biểu thức trên, ta có: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{u^2+u+1}} \cdot \frac{1}{2} du = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{(v-\frac{1}{2})^2+(v-\frac{1}{2})+1}} dv \] Sau khi thực hiện thay đổi biến số, chúng ta cần điều chỉnh giới hạn tích phân. Khi \(x\) tiến tới vô cùng, \(u\) cũng tiến tới vô cùng. Tương tự, khi \(u\) tiến tới vô cùng, \(v\) cũng tiến tới vô cùng. Do đó, giới hạn tích phân ban đầu \([1, +\infty]\) sẽ trở thành \([a, +\infty]\), trong đó \(a\) là giá trị tương ứng của \(v\) khi \(u = 1\). Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của \(a\). Khi \(u = 1\), ta có \(v = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Vì vậy, giới hạn tích phân mới sẽ là \([\frac{3}{2}, +\infty]\). Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện một thay đổi biến số cuối cùng bằng cách đặt \(w = v - \frac{1}{2}\). Khi đó, \(dw = dv\) và \(v = w + \frac{1}{2}\). Thay thế vào biểu thức trên, ta có: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{(v-\frac{1}{2})^2+(v-\frac{1}{2})+1}} dv = \int_{\frac{3}{2}}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{w^2+w+1}} dw \] Bây giờ, chúng ta đã biến đổi tích phân ban đầu thành một tích phân mới với giới hạn \([\frac{3}{2}, +\infty]\). Để tính giá trị của tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tích phân bằng phân đoạn hoặc phương pháp tích phân bằng chuỗi lũy thừa. Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về tích phân không xác định và áp dụng nó vào bài toán cụ thể. Chúng ta đã thực hiện các thay đổi biến số để đưa tích phân về dạng đơn giản hơn và tính toán giá trị của nó.