Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số và đường thẳng đã cho

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm giao nhau giữa đồ thị hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}-4$ và đường thẳng $(A)$ có phương trình $y=\frac {1}{9}x+2$. Điểm giao nhau này sẽ là điểm tiếp tuyến giữa đồ thị hàm số và đường thẳng. Sau đó, chúng ta sử dụng đạo hàm của hàm số để tính phương trình của tiếp tuyến tại điểm giao nhau.

Bước đầu tiên, ta giải hệ phương trình giữa đồ thị hàm số và đường thẳng để tìm điểm giao nhau. Thay $y$ trong phương trình hàm số bằng $\frac {1}{9}x+2$ ta được:

$-x^{3}+3x^{2}-4 = \frac {1}{9}x+2$

Sau khi giải phương trình trên, ta thu được giá trị của $x$ và từ đó suy ra giá trị của $y$ tương ứng.

Tiếp theo, để tính phương trình tiếp tuyến, ta cần tính đạo hàm của hàm số ban đầu. Đạo hàm của hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}-4$ là $y'=-3x^{2}+6x$. Sau đó, ta sử dụng đạo hàm này và điểm giao nhau đã tìm được để tính phương trình của tiếp tuyến.

Kết quả cuối cùng sẽ là phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}-4$ tại điểm giao nhau với đường thẳng $(A)$.