Tính đạo hàm của hàm số \( y=\left(\sin ^{3} x+1\right) \operatorname{arcotan}^{2} x \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính đạo hàm của hàm số \( y=\left(\sin ^{3} x+1\right) \operatorname{arcotan}^{2} x \). Để làm điều này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản và sử dụng các quy tắc đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số \( \sin ^{3} x \). Theo quy tắc đạo hàm của hàm lũy thừa, ta có: \[ \frac{d}{dx}(\sin ^{3} x) = 3\sin ^{2} x \cos x \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số \( \operatorname{arcotan}^{2} x \). Theo quy tắc đạo hàm của hàm ngược, ta có: \[ \frac{d}{dx}(\operatorname{arcotan}^{2} x) = \frac{1}{1+x^{2}} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số \( y=\left(\sin ^{3} x+1\right) \operatorname{arcotan}^{2} x \) bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Theo quy tắc này, ta có: \[ \frac{d}{dx}\left(\left(\sin ^{3} x+1\right) \operatorname{arcotan}^{2} x\right) = \left(\frac{d}{dx}(\sin ^{3} x+1)\right) \operatorname{arcotan}^{2} x + (\sin ^{3} x+1) \frac{d}{dx}(\operatorname{arcotan}^{2} x) \] Thay các giá trị đã tính được vào công thức trên, ta có: \[ \frac{d}{dx}\left(\left(\sin ^{3} x+1\right) \operatorname{arcotan}^{2} x\right) = (3\sin ^{2} x \cos x) \operatorname{arcotan}^{2} x + (\sin ^{3} x+1) \frac{1}{1+x^{2}} \] Đây chính là đạo hàm của hàm số \( y=\left(\sin ^{3} x+1\right) \operatorname{arcotan}^{2} x \).