Giới hạn và tính liên tục của hàm số

Giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}-x^{2}-1} \) có dạng vô định nào? Giải thích câu trả lời. Để tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0, chúng ta có thể sử dụng phép l'Hôpital hoặc phân tích thành phần để giải quyết bài toán này. Sử dụng phép l'Hôpital, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}-x^{2}-1} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2 x+2\right) \cos \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}-2 x} \) Tiếp theo, ta có thể tiếp tục sử dụng phép l'Hôpital cho phân số mới: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2 x+2\right) \cos \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}-2 x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(x^{2}+2 x\right)-2 \sin \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}-2} \) Tiếp tục áp dụng phép l'Hôpital một lần nữa, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(x^{2}+2 x\right)-2 \sin \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}-2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-4 x \cos \left(x^{2}+2 x\right)-4 x \sin \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}} \) Khi \( x \) tiến đến 0, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-4 x \cos \left(x^{2}+2 x\right)-4 x \sin \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}} = 0 \) Vậy, giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 là 0. Tiếp theo, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) để hàm số \( f(x) = \frac{x^{2}+mx}{x} \) liên tục tại \( x = 0 \). Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 0 \), ta cần xác định giá trị của \( m \) sao cho giới hạn sau tồn tại: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+mx}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} (x + m) \) Để giới hạn này tồn tại, ta cần \( m = -1 \). Vậy, để hàm số \( f(x) = \frac{x^{2}+mx}{x} \) liên tục tại \( x = 0 \), giá trị của \( m \) phải là -1. Kết luận: - Giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}-x^{2}-1} \) khi \( x \) tiến đến 0 là 0. - Để hàm số \( f(x) = \frac{x^{2}+mx}{x} \) liên tục tại \( x = 0 \), giá trị của \( m \) phải là -1.