Tích phân \( \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+9 x+18} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân \( \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+9 x+18} \) và cách tính nó. Đây là một bài toán tích phân khá phức tạp, nhưng chúng ta có thể giải quyết nó bằng một số phương pháp. Đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng phép đổi biến số để đưa bài toán về dạng dễ tính hơn. Đặt \( u = x + \frac{9}{2} \), ta có \( d u = d x \). Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+9 x+18} = \int_{\frac{9}{2}}^{+\infty} \frac{d u}{u^{2}+\frac{9}{2} u+18} \] Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành tỉ lệ để giải quyết tích phân này. Để làm điều này, chúng ta cần tìm các hệ số \( A \) và \( B \) sao cho: \[ \frac{1}{u^{2}+\frac{9}{2} u+18} = \frac{A}{u+3} + \frac{B}{u+6} \] Tiến hành phân tích thành tỉ lệ, ta có: \[ 1 = A(u+6) + B(u+3) \] Suy ra: \[ A + B = 0 \] \[ 6A + 3B = 1 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được \( A = \frac{1}{3} \) và \( B = -\frac{1}{3} \). Thay vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ \int_{\frac{9}{2}}^{+\infty} \frac{d u}{u^{2}+\frac{9}{2} u+18} = \int_{\frac{9}{2}}^{+\infty} \left( \frac{\frac{1}{3}}{u+3} - \frac{\frac{1}{3}}{u+6} \right) d u \] Tiếp theo, chúng ta có thể tính tích phân này bằng cách sử dụng quy tắc tích phân cơ bản. Kết quả cuối cùng sẽ là: \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+9 x+18} = \left[ \frac{1}{3} \ln|u+3| - \frac{1}{3} \ln|u+6| \right]_{\frac{9}{2}}^{+\infty} \] Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý rằng tích phân này có thể hội tụ hoặc không hội tụ tùy thuộc vào giá trị của \( u \). Để xác định điều này, chúng ta cần phân tích hàm số \( u^{2}+\frac{9}{2} u+18 \) và xem xét các giá trị của \( u \) khi \( x \) tiến đến \( +\infty \). Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về tích phân \( \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+9 x+18} \) và cách tính nó bằng cách sử dụng phép đổi biến số và phân tích thành tỉ lệ. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét thêm về tính hội tụ của tích phân này.