Chứng minh \( a \) và \( b \) nguyên tố cùng nhau và tìm ƯCLN \( (a, b) \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng \( a \) và \( b \) là hai số nguyên tố cùng nhau và tìm ƯCLN (ước chung lớn nhất) của chúng. Để bắt đầu, chúng ta xét hai số \( a \) và \( b \) được định nghĩa như sau: \( a = 2^n + 3^n \) và \( b = 2^{n+1} + 3^{n+1} \). Để chứng minh rằng \( a \) và \( b \) là nguyên tố cùng nhau, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược. Giả sử rằng \( a \) và \( b \) không phải là nguyên tố cùng nhau, tức là tồn tại một ước chung \( d \) lớn hơn 1 của \( a \) và \( b \). Theo định nghĩa của \( a \) và \( b \), ta có thể viết lại \( a \) và \( b \) như sau: \( a = 2^n + 3^n \) và \( b = 2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n \). Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý Euclid để chứng minh rằng \( d \) cũng là ước chung của \( 2^n \) và \( 3^n \). Định lý Euclid nói rằng nếu \( d \) là ước chung của hai số \( x \) và \( y \), thì \( d \) cũng là ước chung của \( x + ay \) và \( y \). Áp dụng định lý Euclid vào trường hợp của chúng ta, ta có: \( d \) là ước chung của \( 2^n \) và \( 3^n \), nên \( d \) cũng là ước chung của \( 2^n + 3^n \) và \( 3^n \). Nhưng theo định nghĩa của \( a \), ta có \( a = 2^n + 3^n \), vậy \( d \) cũng là ước chung của \( a \) và \( 3^n \). Tương tự, ta cũng có thể chứng minh rằng \( d \) là ước chung của \( a \) và \( 2^n \). Từ đó, ta suy ra rằng \( d \) là ước chung của \( a \) và \( b \), tức là \( d \) là ước chung của \( a \) và \( b \). Nhưng điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng \( a \) và \( b \) không phải là nguyên tố cùng nhau. Vậy, giả sử ban đầu là sai và ta kết luận rằng \( a \) và \( b \) là hai số nguyên tố cùng nhau. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm ƯCLN của \( a \) và \( b \). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng thuật toán Euclid. Theo thuật toán Euclid, ta lặp lại việc chia \( a \) cho \( b \) và gán \( a \) bằng \( b \) và \( b \) bằng phần dư của phép chia. Quá trình này tiếp tục cho đến khi phần dư bằng 0. Khi đó, \( b \) sẽ là ƯCLN của \( a \) và \( b \). Áp dụng thuật toán Euclid vào trường hợp của chúng ta, ta có: \( a = 2^n + 3^n \) và \( b = 2^{n+1} + 3^{n+1} \) \( b = 2 \cdot (2^n + 3^n) + 3 \cdot (2^n + 3^n) \) \( b = 2 \cdot a + 3 \cdot a \) \( b = 5 \cdot a \) Vậy, ƯCLN của \( a \) và \( b \) là \( a \). Trong bài viết này, chúng ta đã chứng minh rằng \( a \) và \( b \) là hai số nguyên tố cùng nhau và tìm được ƯCLN của chúng là \( a \).