Tính modun của số phức $w=b+ci$ biết số phức $\frac {i^{8}-1-2i}{1-i^{7}}$ là nghiệm của phương trình $z^{2}+bz+c=0$

Phương trình $z^{2}+bz+c=0$ có nghiệm là $\frac {i^{8}-1-2i}{1-i^{7}}$. Ta cần tính modun của số phức $w=b+ci$. Gọi $z_1$ và $z_2$ lần lượt là hai nghiệm của phương trình $z^{2}+bz+c=0$. Theo định lý Viète, ta có: $$\begin{cases} z_1+z_2=-b \\ z_1z_2=c \end{cases}$$ Do đó, ta có: $$\begin{aligned} z_1+z_2 &= \frac {i^{8}-1-2i}{1-i^{7}} \\ &= \frac {i^{8}-1-2i}{i^{7}+i^{6}+i^{5}+i^{4}+i^{3}+i^{2}+i+1} \\ &= \frac {i^{8}-1-2i}{-i+i^{2}-i^{3}+i^{4}-i^{5}+i^{6}-i^{7}+2} \\ &= \frac {i^{8}-1-2i}{-2i} \\ &= \frac {1-1-2i}{-2i} \\ &= \frac {1}{2} + i \end{aligned}$$ Vì $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2}+bz+c=0$, nên ta có: $$\begin{aligned} z_1z_2 &= \frac {(i^{8}-1-2i)^{2}}{(1-i^{7})^{2}} \\ &= \frac {(i^{8}-1-2i)^{2}}{(i^{7}+i^{6}+i^{5}+i^{4}+i^{3}+i^{2}+i+1)^{2}} \\ &= \frac {(i^{8}-1-2i)^{2}}{(i^{6}-i^{5}+i^{4}-i^{3}+i^{2}-i+1)^{2}} \\ &= \frac {(i^{8}-1-2i)^{2}}{(2i)^{2}} \\ &= \frac {(1-1-2i)^{2}}{4} \\ &= \frac {4}{4} \\ &= 1 \end{aligned}$$ Ta có: $$\begin{aligned} w &= \frac {z_1+z_2}{2} + \frac {\sqrt{(z_1+z_2)^{2}-4z_1z_2}}{2}i \\ &= \frac {1}{4} + \frac {\sqrt{1+4}}{4}i \\ &= \frac {1}{4} + \frac {\sqrt{2}}{4}i \end{aligned}$$ Do đó, modun của số phức $w=b+ci$ là: $$\begin{aligned} |w| &= \sqrt{b^{2}+c^{2}} \\ &= \sqrt{\left(\frac {1}{4}\right)^{2}+\left(\frac {\sqrt{2}}{4}\right)^{2}} \\ &= \sqrt{\frac {1}{32}+\frac {1}{32}} \\ &= \frac {\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$ Vậy, đáp án là $\boxed{\textbf{(C) }2\sqrt {2}}$.