Sự hội tụ của dãy số \( a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \)

Dãy số \( a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \) là một dãy số rất đặc biệt và có tính chất hội tụ. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tính chất của dãy số này và cách chứng minh rằng nó hội tụ. Để bắt đầu, chúng ta cần hiểu rõ về khái niệm "hội tụ" trong toán học. Một dãy số được gọi là hội tụ nếu tồn tại một giá trị gọi là giới hạn mà các phần tử của dãy số tiến tới khi số hạng của dãy tiến tới vô cùng. Trong trường hợp của dãy số \( a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \), chúng ta sẽ chứng minh rằng giới hạn của dãy số này là 1. Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của giới hạn. Theo định nghĩa, để chứng minh rằng giới hạn của dãy số \( a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \) là 1, chúng ta cần chứng minh rằng với mọi số dương epsilon, tồn tại một số nguyên dương N sao cho khi n > N, ta có |\( a_{n} - 1 \)| < epsilon. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức và tính toán đơn giản. Đầu tiên, chúng ta có thể thấy rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có \( a_{n} < 1 \). Điều này có thể được chứng minh bằng cách chứng minh rằng \( a_{n}^{2} < a_{n} \). Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh rằng \( a_{n} > 1 - \frac{1}{n} \). Từ đó, chúng ta có thể suy ra rằng \( a_{n} - 1 < \frac{1}{n} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ chọn một số nguyên dương N sao cho khi n > N, ta có \(\frac{1}{n} < epsilon\). Điều này có thể được thực hiện bằng cách chọn N = \(\frac{1}{epsilon}\). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng với mọi số nguyên dương n > N, ta có |\( a_{n} - 1 \)| < epsilon. Từ những chứng minh trên, chúng ta có thể kết luận rằng dãy số \( a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \) hội tụ và giới hạn của nó là 1. Trên đây là một số suy nghĩ và chứng minh về tính chất hội tụ của dãy số \( a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} \). Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dãy số này và cách chứng minh tính chất hội tụ của nó.