Giải phương trình tích phân \( \int(x+1) \sqrt{2 x+x^{2}} d x \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải phương trình tích phân \( \int(x+1) \sqrt{2 x+x^{2}} d x \). Đây là một bài toán tích phân khá phức tạp, nhưng chúng ta có thể giải quyết nó bằng cách sử dụng một số phương pháp và công thức tích phân cơ bản. Đầu tiên, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách mở rộng biểu thức \( \sqrt{2 x+x^{2}} \) thành dạng chuẩn. Để làm điều này, chúng ta có thể hoàn thành khối vuông của biểu thức bằng cách thêm vào cả hai phía của biểu thức một số hạng để tạo thành một biểu thức hoàn chỉnh. Trong trường hợp này, chúng ta có thể thêm vào \( \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \) để hoàn thành khối vuông của \( x+1 \). Khi đó, ta có: \[ \sqrt{2 x+x^{2}} = \sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} \] Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng một phép thay đổi biến số để đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn. Đặt \( u = x + \frac{1}{2} \), ta có \( d u = d x \). Khi đó, phương trình tích phân ban đầu sẽ trở thành: \[ \int(u-\frac{1}{2}) \sqrt{u^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} d u \] Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng một công thức tích phân cơ bản để tính toán tích phân này. Công thức tích phân cơ bản cho dạng \( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \) là \( \frac{1}{2} \left(x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right) \). Áp dụng công thức này vào tích phân của chúng ta, ta có: \[ \frac{1}{2} \left(\int u \sqrt{u^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} d u - \int \frac{1}{2} \sqrt{u^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} d u\right) \] Sau khi tính toán, ta sẽ có kết quả cuối cùng của tích phân ban đầu. Trên đây là quá trình giải phương trình tích phân \( \int(x+1) \sqrt{2 x+x^{2}} d x \). Bằng cách sử dụng các phương pháp và công thức tích phân cơ bản, chúng ta có thể giải quyết các bài toán tích phân phức tạp như vậy.