Tìm điểm cực tiểu của hàm số \( f(x, y)=x^{2}+y^{3}-2 x-3 y-3 \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tìm điểm cực tiểu của một hàm số. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét hàm số \( f(x, y)=x^{2}+y^{3}-2 x-3 y-3 \) và tìm điểm cực tiểu của nó. Để tìm điểm cực tiểu của hàm số, chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm riêng của hàm số bằng 0. Đạo hàm riêng theo x của hàm số \( f(x, y) \) là \( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}=2x-2 \) và đạo hàm riêng theo y là \( \frac{{\partial f}}{{\partial y}}=3y^2-3 \). Để tìm điểm cực tiểu, ta giải hệ phương trình \( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}=0 \) và \( \frac{{\partial f}}{{\partial y}}=0 \). Từ đó, ta có \( 2x-2=0 \) và \( 3y^2-3=0 \). Giải hệ phương trình này, ta tìm được x = 1 và y = 1 hoặc y = -1. Tiếp theo, chúng ta cần kiểm tra xem điểm tìm được có phải là điểm cực tiểu hay không. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng định lý hai của Lagrange hoặc kiểm tra đạo hàm riêng thứ hai của hàm số. Đạo hàm riêng thứ hai của hàm số \( f(x, y) \) theo x là \( \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}=2 \) và đạo hàm riêng thứ hai theo y là \( \frac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}}=6y \). Để kiểm tra xem điểm tìm được có phải là điểm cực tiểu hay không, ta cần kiểm tra giá trị của đạo hàm riêng thứ hai tại điểm đó. Với x = 1 và y = 1, ta có \( \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}=2 \) và \( \frac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}}=6 \). Vì cả hai đạo hàm riêng thứ hai đều lớn hơn 0, điểm (1, 1) là điểm cực tiểu của hàm số \( f(x, y) \). Vậy, điểm cực tiểu của hàm số \( f(x, y)=x^{2}+y^{3}-2 x-3 y-3 \) là (1, 1). Trên đây là quá trình tìm điểm cực tiểu của hàm số \( f(x, y) \). Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm điểm cực tiểu của một hàm số.