Tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến và có hai điểm cực trị cùng dấu

Bài viết này tập trung vào việc giải quyết hai câu hỏi liên quan đến hàm số \( y=x^{3}+x^{2}+m x+1 \). Chúng ta sẽ tìm giá trị của tham số \( m \) để hàm số đồng biến trên toàn miền giá trị và để hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu. Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét câu a) - tìm giá trị của \( m \) để hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Để hàm số đồng biến, đạo hàm của nó phải không âm trên toàn miền giá trị. Ta tính đạo hàm của hàm số: \( y'=3x^{2}+2x+m \). Để đạo hàm không âm trên \( \mathbb{R} \), ta cần phải giải phương trình \( 3x^{2}+2x+m \geq 0 \). Điều này có nghĩa là ta cần tìm giá trị của \( m \) để phương trình này có nghiệm trên toàn miền giá trị. Để giải phương trình trên, chúng ta có thể sử dụng định lý Viết - Bézout. Định lý này khẳng định rằng nếu một đa thức bậc hai có dạng \( ax^{2}+bx+c \) và \( a>0 \), thì nó sẽ không âm trên toàn miền giá trị nếu và chỉ nếu nó không có nghiệm hoặc có hai nghiệm thực phân biệt. Áp dụng định lý này, ta cần giải phương trình \( 3x^{2}+2x+m=0 \) để tìm giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Điều này tương đương với việc tìm giá trị của \( m \) để \( \Delta =4-12m \) lớn hơn 0. Từ đó, ta thu được rằng \( m<\frac{1}{3} \). Tiếp theo, chúng ta xem xét câu b) - tìm giá trị của \( m \) để hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu. Điểm cực trị của hàm số là điểm có đạo hàm bằng 0. Ta tính đạo hàm của hàm số: \( y'=3x^{2}+2x+m \). Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( 3x^{2}+2x+m=0 \). Điều này tương đương với việc tìm giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm thực. Để có hai nghiệm thực, ta cần \( \Delta =4-12m \) lớn hơn 0. Từ đó, ta thu được rằng \( m<\frac{1}{3} \). Tổng kết lại, để hàm số \( y=x^{3}+x^{2}+m x+1 \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \) và có hai điểm cực trị cùng dấu, tham số \( m \) phải nhỏ hơn \( \frac{1}{3} \).