Giải thích giá trị giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right) \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giá trị giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right) \). Đây là một bài toán quan trọng trong giới hạn và chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách giải quyết nó. Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ về khái niệm giới hạn. Giới hạn là một khái niệm toán học quan trọng, cho phép chúng ta xác định giá trị của một biểu thức khi biến đổi đến gần một giá trị cụ thể. Trong trường hợp này, chúng ta đang quan tâm đến giá trị của biểu thức khi x tiến đến 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phép biến đổi đơn giản để đơn giản hóa biểu thức ban đầu. Bằng cách kết hợp các phép biến đổi đơn giản, chúng ta có thể đưa biểu thức về dạng dễ tính toán hơn. Đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng quy tắc nhân và chia để tách biểu thức thành hai phần riêng biệt. Bằng cách áp dụng quy tắc này, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right) = \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{1-x} - \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{1-x^{3}} \) Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng quy tắc đổi dấu để đảo ngược dấu trừ trong biểu thức. Bằng cách áp dụng quy tắc này, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{1-x} - \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{1-x^{3}} = \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{1-x} + \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{x^{3}-1} \) Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng quy tắc chuyển vị để đổi chỗ các thành phần trong biểu thức. Bằng cách áp dụng quy tắc này, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{1-x} + \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{x^{3}-1} = \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{1-x} + \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \) Bây giờ, chúng ta có thể thực hiện tính toán giá trị giới hạn của từng phần riêng biệt. Đầu tiên, ta xét giá trị giới hạn của phần đầu tiên: \( \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{1-x} = \frac{1}{1-1} = \frac{1}{0} \) Giá trị này không xác định, vì mẫu số bằng 0. Do đó, chúng ta không thể tính được giá trị giới hạn của phần đầu tiên. Tiếp theo, ta xét giá trị giới hạn của phần thứ hai: \( \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \) Để tính toán giá trị giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng phép biến đổi đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Bằng cách áp dụng phép biến đổi này, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{(x-1)(x^{2}+x+1)} = \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{(x-1)(x+1)(x+1)} \) Bây giờ, chúng ta có thể thực hiện tính toán giá trị giới hạn của phần thứ hai: \( \lim _{x \rightarrow 1}\frac{3}{(x-1)(x+1)(x+1)} = \frac{3}{(1-1)(1+1)(1+1)} = \frac{3}{0} \) Tương tự như phần đầu tiên, giá trị này cũng không xác định, vì mẫu số bằng 0. Do đó, chúng ta không thể tính được giá trị giới hạn của phần thứ hai. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng giá trị giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right) \) không xác định. Trên đây là quá trình giải quyết bài toán và giải thích giá trị giới hạn của biểu thức đã cho. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và cách giải quyết bài toán liên quan.