Tích phân suy rộng và giá trị của α

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một bài toán tích phân suy rộng và tìm giá trị của α để tích phân hội tụ. Bài toán được đưa ra như sau: Cho tích phân suy rộng \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{1-2 \alpha}} d x=I \). Chúng ta cần tìm giá trị nào của α để tích phân I hội tụ. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn và xem xét xem giá trị của α có thể làm cho tích phân hội tụ hay không. A. \( \alpha<0 \) Khi α<0, ta có x^{1-2 \alpha}>1 và do đó \frac{1}{x^{1-2 \alpha}}<\frac{1}{x}. Tích phân này sẽ không hội tụ vì tích phân \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x là không hữu hạn. B. \( \alpha \geq 0 \) Khi α \geq 0, ta có x^{1-2 \alpha}<1 và do đó \frac{1}{x^{1-2 \alpha}}>\frac{1}{x}. Tích phân này sẽ hội tụ vì tích phân \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x là hữu hạn. C. \( \alpha>\frac{1}{2} \) Khi α>\frac{1}{2}, ta có x^{1-2 \alpha}<x^{-1} và do đó \frac{1}{x^{1-2 \alpha}}>\frac{1}{x}. Tích phân này sẽ hội tụ vì tích phân \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x là hữu hạn. D. \( \alpha \leq \frac{1}{2} \) Khi α \leq \frac{1}{2}, ta có x^{1-2 \alpha}>x^{-1} và do đó \frac{1}{x^{1-2 \alpha}}<\frac{1}{x}. Tích phân này sẽ không hội tụ vì tích phân \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x là không hữu hạn. Từ những phân tích trên, ta có thể kết luận rằng giá trị của α để tích phân I hội tụ là α>\frac{1}{2}.