Giới hạn của hàm \( \frac{2x+1}{3-x} \) khi x tiến đến 3 từ bên trái

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giới hạn của hàm \( \frac{2x+1}{3-x} \) khi x tiến đến 3 từ bên trái. Đây là một bài toán quan trọng trong giải tích và có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật, kinh tế và khoa học máy tính. Để tính giới hạn này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của giới hạn. Theo định nghĩa, giới hạn của một hàm khi x tiến đến một giá trị c từ bên trái được ký hiệu là \( \lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x) \) và được xác định như sau: \( \lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x) = L \) nếu với mọi số dương ε, tồn tại một số dương δ sao cho nếu \( 0 < c - x < \delta \) thì \( |f(x) - L| < \epsilon \). Áp dụng định nghĩa này vào bài toán của chúng ta, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2x+1}{3-x} \) Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia tỷ số. Đầu tiên, ta thấy rằng mẫu số \( 3 - x \) sẽ tiến đến 0 khi x tiến đến 3 từ bên trái. Vì vậy, ta có thể chia tỷ số cho \( 3 - x \) để đơn giản hóa bài toán: \( \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2x+1}{3-x} = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2x+1}{(3-x)(1)} \) Tiếp theo, ta sẽ thực hiện phép nhân đại số để đơn giản hóa tỷ số: \( \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2x+1}{(3-x)(1)} = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2x+1}{-x+3} \) Bây giờ, ta có thể thực hiện phép chia tỷ số bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho \( x - 3 \): \( \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2x+1}{-x+3} = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{(2x+1)/(x-3)}{(-x+3)/(x-3)} \) \( = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2+\frac{1}{x}}{-1} \) Cuối cùng, ta thấy rằng khi x tiến đến 3 từ bên trái, giá trị của \( \frac{1}{x} \) tiến đến âm vô cùng. Vì vậy, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2+\frac{1}{x}}{-1} = \frac{2+(-\infty)}{-1} = -\infty \) Vậy, giới hạn của hàm \( \frac{2x+1}{3-x} \) khi x tiến đến 3 từ bên trái là âm vô cùng. Trên đây là quá trình tính toán và giải thích chi tiết về giới hạn của hàm \( \frac{2x+1}{3-x} \) khi x tiến đến 3 từ bên trái. Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong giải tích và có ứng dụng rộng rãi trong thực tế.