Chứng minh Tứ giác BEDC nội tiếp và $AD\cdot AC=AE\cdot AB$ trong tam giác ABC
3(196 phiếu bầu)Trước tiên, để chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn, ta sử dụng tính chất của các góc trong tam giác. Với hai đường cao BD và CE, ta có thể chứng minh được góc B và góc C là góc vuông. Khi đó, ta có tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp do tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ. Tiếp theo, để chứng minh $AD\cdot AC=AE\cdot AB$, ta sử dụng định lý cung và nửa cung trong hình tròn nội tiếp tam giác. Áp dụng định lý cung, ta có $\angle AOC = 2\angle B$ và $\angle AOB = 2\angle C$. Từ đó, suy ra $\triangle AOC \sim \triangle ABE$ và $\triangle AOB \sim \triangle ADC$. Kết hợp hai tỉ số tương đồng trên, ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$ Từ đó, suy ra $AD\cdot AC=AE\cdot AB$. Như vậy, qua việc chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp và $AD\cdot AC=AE\cdot AB$ trong tam giác ABC, ta hoàn thành bài toán.
