Chứng minh tính hội tụ của các dãy số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh tính hội tụ của các dãy số được cho. Chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý supremum và định nghĩa của supremum để chứng minh rằng giới hạn của dãy số là supremum của dãy số đó. (i) Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh tính hội tụ của dãy số \(x_n = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)}\) với \(n \in \mathbb{N}^*\). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý supremum. Giả sử \(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}^*}\) là một dãy tăng. Chúng ta sẽ chứng minh rằng \(\lim_{n \to \infty} x_n = \sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\). Đầu tiên, chúng ta cần chứng minh rằng \(\sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\) tồn tại. Vì \(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}^*}\) là một dãy tăng, nên chúng ta có thể thấy rằng \(x_n\) là một dãy tăng và bị chặn trên. Do đó, theo nguyên lý supremum, tồn tại một số thực \(M\) sao cho \(x_n \leq M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Vì vậy, \(\sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\) tồn tại. Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng \(\lim_{n \to \infty} x_n = \sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa và đặc trưng của supremum. Theo định nghĩa, \(\sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\) là một số thực sao cho \(x_n \leq \sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Vì vậy, chúng ta có thể viết \(x_n \leq \sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\) cho mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Đặc trưng của supremum cho biết rằng nếu \(y\) là một số thực sao cho \(x_n \leq y\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), thì \(y \geq \sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\). Vì vậy, chúng ta có thể viết \(\sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n \leq y\) cho mọi số thực \(y\) sao cho \(x_n \leq y\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng \(\lim_{n \to \infty} x_n = \sup_{n \in \mathbb{N}^*} x_n\). (ii) Tương tự, chúng ta có thể chứng minh tính hội tụ của các dãy số còn lại theo cùng một cách. Tuy n