Tìm số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định

Để tìm số giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{mx+3}{x+1}\) nghịch biến trên các khoảng \((-∞;-1)\) và \((-1;+∞)\), chúng ta cần xác định điều kiện để hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Để hàm số nghịch biến trên một khoảng xác định, chúng ta cần xác định điều kiện để đạo hàm của hàm số trên khoảng đó luôn âm hoặc dương. Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{mx+3}{x+1}\): \(y'=\frac{m(x+1)-m(x+3)}{(x+1)^2}=\frac{2m}{(x+1)^2}\) Để đạo hàm luôn âm trên khoảng \((-∞;-1)\), ta cần \(2m<0\), tức là \(m<0\). Để đạo hàm luôn dương trên khoảng \((-1;+∞)\), ta cần \(2m>0\), tức là \(m>0\). Vậy, để hàm số \(y=\frac{mx+3}{x+1}\) nghịch biến trên các khoảng \((-∞;-1)\) và \((-1;+∞)\), tham số m phải thỏa mãn điều kiện \(m<0\) và \(m>0\). Từ đó, ta có thể suy ra số giá trị nguyên dương của tham số m là 1. Vậy, đáp án đúng là B. 1.