Giải phương trình bậc hai trong điều kiện x ≤ 5

Trong bài toán này, chúng ta cần giải phương trình bậc hai dưới điều kiện x ≤ 5. Phương trình đã cho là \(x + \sqrt{5-x} + x\sqrt{5 - x} - 12 = 0\). Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ đặt \(t = x + \sqrt{5-x}\) để thu được phương trình mới \(t^2 + t - 12 = 0\).

Giải phương trình ta có \(t=3\) hoặc \(t=-4\). Xét khi \(t=3\), suy ra \(\sqrt{5-x}=3-x\) và từ đó suy ra được nghiệm duy nhất là \(x=1\). Khi \(t=-4\), thì \(\sqrt{5-x}=-4-x < 3\) và sau khi giải hệ phương trình, ta thu được nghiệm là \(x=\frac{-4-3-\sqrt{87}}{2}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình trong điều kiện đã cho là:

\[ S=\left\{1; -9-\sqrt {37}\right\} \]

Như vậy, chúng ta đã giải quyết thành công bài toán theo yêu cầu và ràng buộc ban đầu.