Tính giới hạn và tìm hằng số để hàm số liên tục

Giới thiệu: Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào việc tính giới hạn và tìm hằng số để hàm số liên tục. Chúng ta sẽ giải quyết hai yêu cầu cụ thể: tính giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) và tìm hằng số \( a \) để \( f(x) \) liên tục trên miền xác định của hàm số. Phần đầu tiên: Tính giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) Để tính giới hạn này, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của hàm số \( f(x) \). Khi \( x

eq 0 \), ta có \( f(x) = \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}} \). Khi \( x = 0 \), ta có \( f(x) = a \). Để tính giới hạn khi \( x \rightarrow 0 \), chúng ta cần xem xét giá trị của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 0 từ cả hai phía. Khi \( x \) tiến đến 0 từ phía dương, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}} \] Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{2x}{x^{2}+1}}{2x} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2x}{x^{2}+1} = \frac{0}{1} = 0 \] Khi \( x \) tiến đến 0 từ phía âm, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}} \] Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{2x}{x^{2}+1}}{2x} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2x}{x^{2}+1} = \frac{0}{1} = 0 \] Vậy, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 0} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = 0 \] Phần thứ hai: Tìm hằng số \( a \) để \( f(x) \) liên tục trên miền xác định của hàm số Để \( f(x) \) liên tục trên miền xác định của hàm số, ta cần đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \rightarrow 0 \) phải bằng \( a \). Từ phần trước, ta đã biết rằng giới hạn này là 0. Vì vậy, để \( f(x) \) liên tục trên miền xác định của hàm số, ta cần \( a = 0 \). Kết luận: Trong bài viết này, chúng ta đã tính giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) và tìm hằng số \( a \) để \( f(x) \) liên tục trên miền xác định của hàm số. Kết quả cho thấy rằng giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \) là 0 và để \( f(x) \) liên tục trên miền xác định của hàm số, ta cần \( a = 0 \).