Chứng minh đẳng thức và tính toán phép tính

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về hai yêu cầu khác nhau. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh một đẳng thức liên quan đến đường tròn và các đoạn thẳng cắt nó. Sau đó, chúng ta sẽ tính toán một phép tính có liên quan đến các căn bậc hai. Để bắt đầu, chúng ta xem xét một đường tròn \( (O) \) và bốn đoạn thẳng \( \mathrm{FA} \), \( \mathrm{FB} \), \( \mathrm{FC} \) và \( \mathrm{FD} \) cắt đường tròn này tại các điểm \( \mathrm{F} \), \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \), \( \mathrm{C} \) và \( \mathrm{D} \). Chúng ta cần chứng minh rằng \( \mathrm{FACH} = \mathrm{HFCA} \). Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng các tính chất của đường tròn và các đoạn thẳng. Đầu tiên, chúng ta biết rằng các đoạn thẳng \( \mathrm{FA} \) và \( \mathrm{FC} \) là đường cao của tam giác \( \mathrm{FAC} \). Do đó, chúng ta có \( \mathrm{FACH} = \mathrm{FAC} \). Tiếp theo, chúng ta biết rằng các đoạn thẳng \( \mathrm{FB} \) và \( \mathrm{FD} \) là đường cao của tam giác \( \mathrm{FBD} \). Do đó, chúng ta có \( \mathrm{HFCA} = \mathrm{FBD} \). Từ hai quan sát trên, chúng ta có \( \mathrm{FACH} = \mathrm{FAC} \) và \( \mathrm{HFCA} = \mathrm{FBD} \). Nhưng chúng ta cũng biết rằng \( \mathrm{FAC} = \mathrm{FBD} \) do các đoạn thẳng \( \mathrm{FA} \) và \( \mathrm{FC} \) cắt đường tròn \( (O) \) tại các điểm \( \mathrm{A} \) và \( \mathrm{C} \), và các đoạn thẳng \( \mathrm{FB} \) và \( \mathrm{FD} \) cắt đường tròn \( (O) \) tại các điểm \( \mathrm{B} \) và \( \mathrm{D} \). Vì vậy, chúng ta có \( \mathrm{FACH} = \mathrm{FAC} = \mathrm{FBD} = \mathrm{HFCA} \), và đẳng thức đã được chứng minh. Tiếp theo, chúng ta xem xét phép tính \( \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2023}} \). Để tính toán phép tính này, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đặc biệt. Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng mỗi phần tử trong dãy này có dạng \( \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} \). Chúng ta có thể nhân và chia mẫu số của mỗi phần tử với \( \sqrt{n+2} - \sqrt{n} \) để đơn giản hóa phép tính. Sau khi đơn giản hóa, chúng ta có \( \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}{2} \). Tiếp theo, chúng ta nhận thấy rằng các phần tử trong dãy này có thể được ghép lại thành các cặp có tổng bằng 1. Ví dụ: \( \frac{\sqrt{1+2} - \sqrt{1}}{2} + \frac{\sqrt{3+2} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = 1 \). Do đó, tổng của tất cả các phần tử trong dãy này là 1. Trong bài viết này, chúng ta đã chứng minh một đẳng thức liên quan đến đường tròn và các đoạn thẳng cắt nó, và tính toán một phép tính có liên quan đến căn bậc hai.