Tìm giá trị riêng của ma trận A

Trước khi chúng ta tìm giá trị riêng của ma trận A, hãy xem xét một số khái niệm cơ bản về giá trị riêng và vector riêng. Giá trị riêng của một ma trận là một số thực hoặc số phức mà khi nhân với một vector riêng tương ứng, ta thu được một vector mới có hướng giống với vector ban đầu. Để tìm giá trị riêng của ma trận A, chúng ta cần giải phương trình đặc trưng của ma trận A. Phương trình đặc trưng là phương trình \(\det(A - \lambda I) = 0\), trong đó \(\lambda\) là giá trị riêng cần tìm, A là ma trận ban đầu và I là ma trận đơn vị cùng kích thước với A. Áp dụng phương trình đặc trưng vào ma trận A đã cho, ta có: \[ \left|\begin{array}{cccc} -1 - \lambda & 0 & 12 & 0 \\ 0 & -1 - \lambda & 0 & 12 \\ 0 & 0 & -1 - \lambda & -4 \\ 0 & 0 & -4 & -1 - \lambda \end{array}\right| = 0 \] Tiếp theo, chúng ta cần giải phương trình trên để tìm giá trị riêng của ma trận A. Đây là một phương trình đa thức có bậc 4, nên việc giải phương trình này có thể khá phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như phương pháp Horner hoặc sử dụng máy tính để giải phương trình này. Sau khi giải phương trình, ta thu được các giá trị riêng của ma trận A. Để tìm vector riêng tương ứng với mỗi giá trị riêng, ta cần giải hệ phương trình \((A - \lambda I) \mathbf{x} = \mathbf{0}\), trong đó \(\mathbf{x}\) là vector riêng cần tìm. Sau khi tìm được các giá trị riêng và vector riêng tương ứng, chúng ta có thể sử dụng chúng để giải các bài toán liên quan đến ma trận A, như tính tích chất của ma trận, tính định thức, tính nghịch đảo, và nhiều hơn nữa. Tóm lại, tìm giá trị riêng của ma trận A là một quá trình quan trọng trong đại số tuyến tính và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc hiểu và áp dụng các khái niệm này sẽ giúp chúng ta nắm vững và ứng dụng thành thạo các kiến thức về ma trận và đại số tuyến tính.