Chứng minh n(n+1)×(n+2) chia hết cho 6

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh rằng biểu thức n(n+1)×(n+2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n. Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh qua quy nạp. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng biểu thức trên chia hết cho 2 và sau đó chứng minh rằng nó cũng chia hết cho 3. Để chứng minh rằng biểu thức n(n+1)×(n+2) chia hết cho 2, chúng ta sẽ xét hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất là khi n là số chẵn, trong trường hợp này, n(n+1)×(n+2) chia hết cho 2 vì n là số chẵn. Trường hợp thứ hai là khi n là số lẻ, trong trường hợp này, n(n+1)×(n+2) chia hết cho 2 vì n+1 là số chẵn. Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức trên chia hết cho 2 với mọi số nguyên dương n. Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng biểu thức n(n+1)×(n+2) chia hết cho 3. Chúng ta cũng sẽ xét hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất là khi n chia hết cho 3, trong trường hợp này, n(n+1)×(n+2) chia hết cho 3 vì n chia hết cho 3. Trường hợp thứ hai là khi n không chia hết cho 3, trong trường hợp này, chúng ta có thể chia n thành 3k+1 hoặc 3k+2 với k là một số nguyên. Khi chia n thành 3k+1, ta có n(n+1)×(n+2) = (3k+1)(3k+2)(3k+3) = 3(3k+1)(k+1)(3k+3), biểu thức này chia hết cho 3. Tương tự, khi chia n thành 3k+2, ta cũng có thể chứng minh rằng biểu thức trên chia hết cho 3. Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức n(n+1)×(n+2) chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n. Từ hai chứng minh trên, chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức n(n+1)×(n+2) chia hết cho cả 2 và 3. Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên biểu thức trên cũng chia hết cho 6. Điều này chứng minh rằng n(n+1)×(n+2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n. Trên đây là quá trình chứng minh rằng biểu thức n(n+1)×(n+2) chia hết cho 6. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh trong toán học và áp dụng nó vào bài toán cụ thể này.