Tính liên tục của hàm số f(x)

Hàm số f(x) được định nghĩa như sau: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sin x \cdot \ln x & ; x>0 \\ a+x^{2} & ; x \leq 0 \end{array}\right. \] Chúng ta cần xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn miền xác định. Để xác định tính liên tục của hàm số, chúng ta cần xem xét tính liên tục của từng phần của hàm số trên miền xác định tương ứng. Đối với phần đầu tiên của hàm số, \(\sin x \cdot \ln x\), chúng ta biết rằng hàm số sin(x) và hàm số ln(x) đều liên tục trên miền xác định của chúng. Do đó, tích của hai hàm số này, \(\sin x \cdot \ln x\), cũng sẽ liên tục trên miền xác định x > 0. Đối với phần thứ hai của hàm số, \(a+x^{2}\), chúng ta biết rằng hàm số \(x^{2}\) là một hàm số liên tục trên toàn miền xác định của nó. Do đó, để hàm số f(x) liên tục trên miền xác định x ≤ 0, chúng ta chỉ cần đảm bảo rằng hằng số a là một giá trị cố định. Tóm lại, hàm số f(x) sẽ liên tục trên toàn miền xác định nếu và chỉ nếu cả hai phần của nó, \(\sin x \cdot \ln x\) và \(a+x^{2}\), đều liên tục trên miền xác định tương ứng của chúng. Với những thông tin trên, chúng ta có thể kết luận rằng tính liên tục của hàm số f(x) phụ thuộc vào giá trị của hằng số a và miền xác định của nó.