Chứng minh tỷ lệ giữa tứ giác và tam giác trong hình chóp

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh một tỷ lệ quan trọng giữa tứ giác và tam giác trong một hình chóp có đáy là hình bình hành. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các điểm trung điểm của các cạnh của đáy để tạo thành các tam giác và tứ giác. Đầu tiên, hãy xem xét hình chóp \(S.ABCD\) với đáy là hình bình hành. Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, AB, SB, AD\). Chúng ta muốn chứng minh tỷ lệ giữa tứ giác \(MNPQ\) và tam giác \(SAC\). Để bắt đầu, chúng ta sẽ xem xét tỷ lệ giữa diện tích tứ giác \(MNPQ\) và diện tích tam giác \(SAC\). Để tính diện tích của một tam giác, chúng ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích của độ dài hai cạnh và độ dài đường cao tương ứng. Áp dụng công thức này vào tam giác \(SAC\), chúng ta có: \(Area(SAC) = \frac{1}{2} \times SA \times AC \times h\) Trong đó, \(h\) là độ dài đường cao từ \(S\) xuống \(AC\). Tiếp theo, chúng ta sẽ tính diện tích của tứ giác \(MNPQ\). Để làm điều này, chúng ta sẽ chia tứ giác thành hai tam giác \(MNP\) và \(NPQ\) và tính diện tích của từng tam giác. Đầu tiên, chúng ta xem xét tam giác \(MNP\). Áp dụng công thức diện tích tam giác, chúng ta có: \(Area(MNP) = \frac{1}{2} \times MN \times NP \times h_1\) Trong đó, \(h_1\) là độ dài đường cao từ \(M\) xuống \(NP\). Tiếp theo, chúng ta xem xét tam giác \(NPQ\). Áp dụng công thức diện tích tam giác, chúng ta có: \(Area(NPQ) = \frac{1}{2} \times NP \times PQ \times h_2\) Trong đó, \(h_2\) là độ dài đường cao từ \(N\) xuống \(PQ\). Bây giờ, chúng ta có thể tính tỷ lệ giữa diện tích tứ giác \(MNPQ\) và diện tích tam giác \(SAC\) bằng cách chia tứ giác thành hai tam giác và tính tỷ lệ diện tích của từng tam giác. \( \frac{Area(MNPQ)}{Area(SAC)} = \frac{Area(MNP) + Area(NPQ)}{Area(SAC)}\) \( = \frac{\frac{1}{2} \times MN \times NP \times h_1 + \frac{1}{2} \times NP \times PQ \times h_2}{\frac{1}{2} \times SA \times AC \times h}\) \( = \frac{\frac{1}{2} \times NP \times (MN \times h_1 + PQ \times h_2)}{\frac{1}{2} \times SA \times AC \times h}\) \( = \frac{NP}{SA} \times \frac{MN \times h_1 + PQ \times h_2}{AC \times h}\) Chúng ta đã chứng minh được rằng tỷ lệ giữa diện tí