Hệ vector trên ĐLTT hay PTTT và tính cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^{4} \)

a) Để xác định xem hệ vector \( u_{1}=(1,2,-1,1) \), \( u_{2}=(5,9,2,-3) \), \( u_{3}=(3,5,5,-1) \), \( u_{4}=(4,7,3,-3) \) có phải là hệ vector trên Đại số tuyến tính (ĐLTT) hay không, chúng ta cần kiểm tra xem liệu có tồn tại một tổ hợp tuyến tính của các vector trong hệ mà có thể tạo ra vector không gian không. Nếu tồn tại ít nhất một tổ hợp tuyến tính không trivial (không phải tổ hợp tuyến tính chỉ gồm các hệ số bằng 0), thì hệ vector không phải là hệ vector trên ĐLTT. Ngược lại, nếu không tồn tại tổ hợp tuyến tính không trivial, thì hệ vector là hệ vector trên ĐLTT. Để kiểm tra điều này, chúng ta giải hệ phương trình tuyến tính \( a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} + a_{4}u_{4} = 0 \), trong đó \( a_{1} \), \( a_{2} \), \( a_{3} \), \( a_{4} \) là các hệ số. Nếu hệ phương trình này có nghiệm khác nghiệm trivival (tức là \( a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = 0 \)), thì hệ vector không phải là hệ vector trên ĐLTT. b) Để xác định xem hệ vector \( u_{1} \), \( u_{2} \), \( u_{3} \), \( u_{4} \) có là cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^{4} \) hay không, chúng ta cần kiểm tra xem liệu có thể sử dụng hệ vector này để tạo ra tất cả các vector trong không gian \( \mathbb{R}^{4} \). Nếu tồn tại một vector trong không gian \( \mathbb{R}^{4} \) mà không thể tạo ra được từ hệ vector này, thì hệ vector không phải là cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^{4} \). Ngược lại, nếu tất cả các vector trong không gian \( \mathbb{R}^{4} \) đều có thể tạo ra được từ hệ vector này, thì hệ vector là cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^{4} \). Để kiểm tra điều này, chúng ta giải hệ phương trình tuyến tính \( a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} + a_{4}u_{4} = y \), trong đó \( y \) là vector cần tạo ra và \( a_{1} \), \( a_{2} \), \( a_{3} \), \( a_{4} \) là các hệ số. Nếu hệ phương trình này có nghiệm, tức là có thể tạo ra vector \( y \) từ hệ vector \( u_{1} \), \( u_{2} \), \( u_{3} \), \( u_{4} \), thì hệ vector là cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^{4} \). Ngược lại, nếu hệ phương trình không có nghiệm, tức là không thể tạo ra vector \( y \) từ hệ vector \( u_{1} \), \( u_{2} \), \( u_{3} \), \( u_{4} \), thì hệ vector không phải là cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^{4} \). Với vector \( y=(2,2,-3,0) \), chúng ta giải hệ phương trình tuyến tính \( a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} + a_{4}u_{4} = (2,2,-3,0) \). Nếu hệ phương trình này có nghiệm, chúng ta có thể tìm được tọa độ của vector \( y \) đối với cơ sở \( u_{1} \), \( u_{2} \), \( u_{3} \), \( u_{4} \). Ngược lại, nếu hệ phương trình không có nghiệm, thì không thể tìm được tọa độ của vector \( y \) đối với cơ sở \( u_{1} \), \( u_{2} \), \( u_{3} \), \( u_{4} \). Qua quá trình giải hệ phương trình tuyến tính, chúng ta có thể kết luận xem hệ vector \( u_{1} \), \( u_{2} \), \( u_{3} \), \( u_{4} \) có là cơ sở của không gian \( \mathbb{R}^{4} \) hay không, và tìm được tọa độ của vector \( y \) đối với cơ sở \( u_{1} \), \( u_{2} \), \( u_{3} \), \( u_{4} \) nếu có.