Tranh luận về tích phân \( \int \sin ^{3} x \cos ^{5} x d x \)

Tích phân là một khái niệm quan trọng trong toán học, và trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân của hàm \( \sin ^{3} x \cos ^{5} x \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân bằng phép thay đổi biến số. Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện phép thay đổi biến số bằng cách đặt \( u = \sin x \). Khi đó, \( d u = \cos x d x \). Tiếp theo, chúng ta sẽ thay thế các thành phần còn lại của tích phân bằng biểu thức mới dựa trên phép thay đổi biến số này. \( \int \sin ^{3} x \cos ^{5} x d x = \int u^{3} \cos ^{4} x \cos x d x \) Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện phép thay đổi biến số thứ hai bằng cách đặt \( v = \cos x \). Khi đó, \( d v = -\sin x d x \). Tiếp theo, chúng ta sẽ thay thế các thành phần còn lại của tích phân bằng biểu thức mới dựa trên phép thay đổi biến số này. \( \int u^{3} \cos ^{4} x \cos x d x = \int u^{3} v^{4} (-\sin x) d v \) Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện phép thay đổi biến số cuối cùng bằng cách đặt \( w = u^{3} \). Khi đó, \( d w = 3u^{2} d u \). Tiếp theo, chúng ta sẽ thay thế các thành phần còn lại của tích phân bằng biểu thức mới dựa trên phép thay đổi biến số này. \( \int u^{3} v^{4} (-\sin x) d v = \int w v^{4} (-\frac{1}{3} d w) \) Sau khi thực hiện các phép thay đổi biến số, chúng ta đã biến đổi tích phân ban đầu thành một tích phân mới dễ tính hơn. Bây giờ, chúng ta có thể tính toán tích phân này bằng cách sử dụng quy tắc tích phân cơ bản. \( \int w v^{4} (-\frac{1}{3} d w) = -\frac{1}{3} \int w v^{4} d w \) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân này bằng cách sử dụng quy tắc tích phân cơ bản. \( -\frac{1}{3} \int w v^{4} d w = -\frac{1}{3} \frac{w^{2}}{2} \frac{v^{5}}{5} + C \) Cuối cùng, chúng ta sẽ thay thế lại các biến số ban đầu để có kết quả cuối cùng của tích phân ban đầu. \( -\frac{1}{3} \frac{w^{2}}{2} \frac{v^{5}}{5} + C = -\frac{1}{6} u^{6} \frac{\cos ^{5} x}{5} + C \) Vậy, kết quả cuối cùng của tích phân \( \int \sin ^{3} x \cos ^{5} x d x \) là \( -\frac{1}{6} u^{6} \frac{\cos ^{5} x}{5} + C \).