Tìm hiểu về hàm số $y = -2x^2 + x - 3$

Hàm số $y = -2x^2 + x - 3$ có đồ thị là một đường parabolỉnh tại điểm $M(-1, -2)$. Để tìm ra 3 giá trị nguyên âm của $m$ sao cho $f(x) \leq m$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần xem xét đồ thị của hàm số.

Đầu tiên, ta cần xác định giá trị của $f(x)$ khi $x = -1$. Thay giá trị của $x$ vào hàm số, ta có:

$f(-1) = -2(-1)^2 + (-1) - 3 = -2 + (-1) - 3 = -6$

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -6. Do đó, 3 giá trị nguyên âm của $m$ là -6, -5, và -4.

Tiếp theo, ta cần tìm ra hai điểm mà đường parabol cắt đường thẳng $y = 2x - 3$. Để làm điều này, ta cần giải hệ phương trình:

$-2x^2 + x - 3 = 2x - 3$

$-2x^2 + x = 0$

$-2x(x + 1) = 0$

Từ đó, ta có hai giá trị của $x$: $x = 0$ và $x = -1$. Thay giá trị của $x$ vào hàm số, ta có:

$f(0) = -2(0)^2 + 0 - 3 = -3$

$f(-1) = -2(-1)^2 + (-1) - 3 = -2 + (-1) - 3 = -6$

Vì vậy, đường parabol cắt đường thẳng $y = 2x - 3$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 = 0$ và $x_2 = -1$, và $x_1 + x_2 = \frac{-1}{2}$.

Cuối cùng, ta cần xem xét tính chất của hàm số trên các khoảng khác nhau. Để làm điều này, ta cần xem xét dấu của đạo hàm của hàm số.

$f'(x) = -4x + 1$

Để tìm ra khoảng nghịch biến và đồng biến của hàm số, ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$:

$-4x + 1 = 0$

$-4x = -1$

$x = \frac{1}{4}$

Vì vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, \frac{1}{4})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{4}, +\infty)$.