Giải bài toán về tọa độ và vectơ trong mặt phẳng

Bài toán #1: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A(3;1)\), \(B(0;-2)\) và \(C(4;1)\). Hãy giải các câu sau: a) Tính tọa độ của điểm \(B'\) sao cho \(\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). b) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AB}\) dưới dạng \(x\vec{i} + y\vec{j}\). c) Tìm tọa độ trong tâm của tam giác \(ABC\) và tọa độ trung điểm của cạnh \(BC\). d) Tìm tọa độ của điểm \(D\) trên trục \(Ox\) sao cho \(ABCD\) là hình thang. Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải quyết các câu hỏi trên bằng cách sử dụng các công thức và phương pháp tính toán trong mặt phẳng. Chúng ta sẽ đi từng bước một để giải quyết từng câu hỏi và đưa ra các kết quả cuối cùng. Bài toán #1a: Để tính tọa độ của điểm \(B'\), ta sử dụng công thức \(\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). Thay vào đó, ta có \((x_{B'} - x_A, y_{B'} - y_A) = (x_B - x_A, y_B - y_A) + (x_C - x_A, y_C - y_A)\). Giải phương trình này, ta sẽ tìm được tọa độ của điểm \(B'\). Bài toán #1b: Để biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AB}\) dưới dạng \(x\vec{i} + y\vec{j}\), ta chỉ cần lấy hiệu của tọa độ của điểm \(B\) và \(A\), tức là \((x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}\). Bài toán #1c: Để tìm tọa độ trong tâm của tam giác \(ABC\), ta sử dụng công thức \(x_{\text{trong tâm}} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\) và \(y_{\text{trong tâm}} = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\). Tương tự, để tìm tọa độ trung điểm của cạnh \(BC\), ta sử dụng công thức \(x_{\text{trung điểm}} = \frac{x_B + x_C}{2}\) và \(y_{\text{trung điểm}} = \frac{y_B + y_C}{2}\). Bài toán #1d: Để tìm tọa độ của điểm \(D\) trên trục \(Ox\) sao cho \(ABCD\) là hình thang, ta sử dụng công thức \(x_D = x_A + x_C - x_B\) và \(y_D = y_A + y_C - y_B\). Với các công thức và phương pháp tính toán trên, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi trong bài toán và đưa ra các kết quả cuối cùng.