Tính giá trị của biểu thức \( \frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\ldots+\frac{1}{120} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giá trị của biểu thức \( \frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\ldots+\frac{1}{120} \). Đây là một bài toán tính tổng của một dãy số hữu tỉ. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số phương pháp toán học. Đầu tiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng các số trong dãy này có mẫu số tăng dần theo quy tắc "số chia hết cho 5". Vì vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức ban đầu thành: \( \frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}+\ldots+\frac{1}{120} \) Tiếp theo, chúng ta có thể nhận thấy rằng các số trong dãy này có tử số là 1. Vì vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức thành: \( \frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}+\ldots+\frac{1}{120} = \frac{1}{10} \times (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{12}) \) Bây giờ, chúng ta có thể tính tổng của các số trong ngoặc đơn bằng cách sử dụng một phương pháp đơn giản. Đầu tiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng các số trong ngoặc đơn có mẫu số tăng dần theo quy tắc "số chia hết cho 3". Vì vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức trong ngoặc đơn thành: \( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{12} = 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12} \) Tiếp theo, chúng ta có thể nhận thấy rằng các số trong ngoặc đơn có tử số là 1. Vì vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức trong ngoặc đơn thành: \( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12} = 1 \times (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}) \) Bây giờ, chúng ta đã có một biểu thức đơn giản hơn để tính tổng của các số trong ngoặc đơn. Chúng ta có thể áp dụng phương pháp tương tự như trước để tính tổng này. Tuy nhiên, để tiết kiệm thời gian, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng quát cho dãy số hữu tỉ: \( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12} = \frac{n}{n+1} \) Trong trường hợp này, n = 5, vì chúng ta có 5 số trong ngoặc đơn. Vì vậy, tổng của các số trong ngoặc đơn là: \( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12} = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6} \) Cuối cùng, chúng ta có thể tính tổng ban đầu bằng cách nhân tổng của các số trong ngoặc đơn với \( \frac{1}{10} \): \( \frac{1}{10} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \) Vậy, giá trị của biểu thức \( \frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\ldots+\frac{1}{120} \) là \( \frac{1}{12} \). Như vậy, chúng ta đã giải quyết bài toán tính tổng của một dãy số hữu tỉ và tìm ra giá trị của biểu thức đã cho.