Số các điểm dừng của hàm hai biến \( z=x^{3}+3 x+y^{3}-3 y^{2} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về số các điểm dừng của hàm hai biến \( z=x^{3}+3 x+y^{3}-3 y^{2} \). Đây là một bài toán thú vị trong lĩnh vực đại số và giải tích. Để tìm số các điểm dừng của hàm này, chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm riêng theo x và y bằng 0. Điều này có nghĩa là chúng ta cần giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 0 \\ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 0 \end{cases} \] Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm riêng theo x: \[ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 3x^2 + 3 \] Tiếp theo, chúng ta tính đạo hàm riêng theo y: \[ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 3y^2 - 6y \] Bây giờ, chúng ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3x^2 + 3 = 0 \\ 3y^2 - 6y = 0 \end{cases} \] Đối với phương trình đầu tiên, ta có: \[ 3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \] Phương trình này không có nghiệm thực, vì vậy không có điểm dừng theo x. Đối với phương trình thứ hai, ta có: \[ 3y^2 - 6y = 0 \Rightarrow y(3y - 6) = 0 \] Từ đó, ta có hai trường hợp: 1. \(y = 0\): Khi đó, ta có \(x^3 + 3x = 0\). Điều này chỉ xảy ra khi \(x = 0\). Vậy, ta có một điểm dừng là (0, 0). 2. \(3y - 6 = 0 \Rightarrow y = 2\): Khi đó, ta có \(x^3 + 3x + 8 = 0\). Phương trình này không có nghiệm thực. Tổng kết lại, chúng ta có một điểm dừng duy nhất là (0, 0). Vậy, số các điểm dừng của hàm hai biến \( z=x^{3}+3 x+y^{3}-3 y^{2} \) là 1. Trên đây là giải pháp cho bài toán tìm số các điểm dừng của hàm hai biến \( z=x^{3}+3 x+y^{3}-3 y^{2} \). Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán này.