Xác định tính chất của hàm số \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-2 x+5} \)

Hàm số \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-2 x+5} \) là một hàm số mũ với cơ số \( \frac{1}{3} \) và mũ là \( x^{2}-2 x+5 \). Chúng ta cần xác định tính chất của hàm số này. Để xác định tính chất của hàm số, chúng ta có thể xem xét đạo hàm của nó. Nếu đạo hàm của hàm số là dương trên một khoảng xác định, thì hàm số là đồng biến trên khoảng đó. Ngược lại, nếu đạo hàm là âm trên một khoảng xác định, thì hàm số là nghịch biến trên khoảng đó. Để tính đạo hàm của hàm số \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-2 x+5} \), chúng ta sử dụng quy tắc chuỗi và quy tắc mũ: \( \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-2 x+5} = \ln\left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(x^{2}-2 x+5\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-2 x+5} \) Để xác định dấu của đạo hàm, chúng ta cần xem xét dấu của \( \ln\left(\frac{1}{3}\right) \) và \( x^{2}-2 x+5 \). Vì \( \ln\left(\frac{1}{3}\right) \) là một số âm và \( x^{2}-2 x+5 \) là một đa thức bậc hai, nên dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu của \( x^{2}-2 x+5 \). Để tìm dấu của \( x^{2}-2 x+5 \), chúng ta có thể sử dụng định lý về dấu của đa thức bậc hai. Đa thức \( x^{2}-2 x+5 \) là một đa thức bậc hai dương, vì hệ số của \( x^{2} \) là 1 và hệ số của \( x \) là -2. Do đó, \( x^{2}-2 x+5 \) là dương trên toàn bộ miền xác định. Vì \( x^{2}-2 x+5 \) là dương trên toàn bộ miền xác định, nên đạo hàm của hàm số \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-2 x+5} \) là âm trên toàn bộ miền xác định. Do đó, hàm số là nghịch biến trên toàn bộ miền xác định. Vậy, câu trả lời đúng là: B. Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \).