Tìm các giá trị riêng và cơ sở của không gian con riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất của ma trận A

Ma trận A đã cho là: \[ A=\left[\begin{array}{ccc} 7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13 \end{array}\right] \] Chúng ta cần tìm các giá trị riêng và cơ sở của không gian con riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất của ma trận A. Để tìm các giá trị riêng, ta giải phương trình đặc trưng \(\det(A-\lambda I)=0\), trong đó \(\lambda\) là giá trị riêng và I là ma trận đơn vị. Thay thế ma trận A vào phương trình đặc trưng, ta có: \[ \left|\begin{array}{ccc} 7-\lambda & -12 & 6 \\ 10 & -19-\lambda & 10 \\ 12 & -24 & 13-\lambda \end{array}\right|=0 \] Tiếp theo, ta tính định thức của ma trận 3x3 này bằng cách sử dụng phép biến đổi hàng và cột để đưa ma trận về dạng tam giác trên. Sau đó, ta tính tích các phần tử trên đường chéo chính để tìm định thức. Sau khi tính toán, ta thu được một phương trình bậc ba: \[ \lambda^3 - \lambda^2 - 5\lambda + 3 = 0 \] Để tìm các giá trị riêng, ta có thể sử dụng phương pháp như định lý Viète hoặc sử dụng máy tính để giải phương trình này. Kết quả là ta thu được ba giá trị riêng: \(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = 1\), và \(\lambda_3 = -1\). Tiếp theo, để tìm cơ sở của không gian con riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất, ta cần tìm các vector riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất. Để làm điều này, ta giải phương trình \((A-\lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}\), trong đó \(\mathbf{x}\) là vector riêng và \(\lambda\) là giá trị riêng lớn nhất. Thay thế giá trị riêng lớn nhất \(\lambda_1 = 3\) vào phương trình, ta có: \[ \left[\begin{array}{ccc} 7-3 & -12 & 6 \\ 10 & -19-3 & 10 \\ 12 & -24 & 13-3 \end{array}\right]\mathbf{x} = \mathbf{0} \] Giải hệ phương trình này, ta thu được một vector riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất: \(\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\). Vậy, giá trị riêng lớn nhất của ma trận A là 3 và cơ sở của không gian con riêng ứng với giá trị riêng này là vector \(\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\). Kết luận, ta đã tìm được các giá trị riêng và cơ sở của không gian con riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất của ma trận A.