Tìm vi phân toàn phần của hàm số tại điểm M(5,-2,0)

Trước khi tìm vi phân toàn phần của hàm số tại điểm M(5,-2,0), chúng ta cần hiểu rõ khái niệm vi phân toàn phần là gì. Vi phân toàn phần là một khái niệm trong toán học, được sử dụng để tính đạo hàm của một hàm số đa biến theo một biến cụ thể trong số các biến khác được coi như hằng số. Hàm số cho trước là f(x, y, z) = (3x - y^2 + 7)cos(z) - z/2. Để tìm vi phân toàn phần của hàm số này tại điểm M(5,-2,0), chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng của hàm số theo từng biến và sau đó thay giá trị của điểm M vào các đạo hàm riêng này. Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm riêng theo biến x. Để làm điều này, chúng ta giữ các biến y và z như là các hằng số và tính đạo hàm của hàm số f(x, y, z) theo x. Kết quả là: \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 3cos(z)\) Tiếp theo, chúng ta tính đạo hàm riêng theo biến y. Lúc này, chúng ta giữ các biến x và z như là các hằng số và tính đạo hàm của hàm số f(x, y, z) theo y. Kết quả là: \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = -2ycos(z)\) Cuối cùng, chúng ta tính đạo hàm riêng theo biến z. Giữ các biến x và y như là các hằng số và tính đạo hàm của hàm số f(x, y, z) theo z. Kết quả là: \(\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = -(3x - y^2 + 7)sin(z) - \frac{1}{2}\) Sau khi tính được các đạo hàm riêng, chúng ta thay giá trị của điểm M(5,-2,0) vào các đạo hàm riêng này để tìm giá trị của vi phân toàn phần tại điểm M. Kết quả là: \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(M) = 3cos(0) = 3\) \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(M) = -2(-2)cos(0) = 4\) \(\frac{{\partial f}}{{\partial z}}(M) = -(3(5) - (-2)^2 + 7)sin(0) - \frac{1}{2} = -\frac{25}{2}\) Vậy, vi phân toàn phần của hàm số f(x, y, z) tại điểm M(5,-2,0) là: \(df(M) = 3dx + 4dy - \frac{25}{2}dz\)