Liên tục của hai hàm số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét tính liên tục của hai hàm số: \(y_1 = ax + b\) và \(y_2 = \sqrt{x}\). Chúng ta sẽ chứng minh rằng cả hai hàm số này đều liên tục trên miền xác định của chúng. a) Đầu tiên, chúng ta xem xét hàm số \(y_1 = ax + b\). Để chứng minh tính liên tục của hàm số này, chúng ta sử dụng định nghĩa của tính liên tục. Cho \(\varepsilon > 0\) bất kỳ, chúng ta cần tìm một \(\delta > 0\) sao cho khi \(|x' - x| < \delta\), ta có \(|y_1(x') - y_1(x)| < \varepsilon\). Giả sử \(a

eq 0\). Ta có: \[ \begin{aligned} |y_1(x') - y_1(x)| &= |(ax' + b) - (ax + b)| \\ &= |a(x' - x)| \\ &= |a||x' - x|. \end{aligned} \] Chọn \(\delta = \frac{\varepsilon}{|a|}\), ta có: \[ |x' - x| < \delta \Rightarrow |y_1(x') - y_1(x)| < \varepsilon. \] Với \(\delta\) này, ta có thể chứng minh tính liên tục của hàm số \(y_1 = ax + b\) trên \(\mathbb{R}\). b) Tiếp theo, chúng ta xem xét hàm số \(y_2 = \sqrt{x}\) trên \(\mathbb{R}_+\). Để chứng minh tính liên tục của hàm số này, chúng ta cũng sử dụng định nghĩa của tính liên tục. Cho \(\varepsilon > 0\) bất kỳ, chúng ta cần tìm một \(\delta > 0\) sao cho khi \(|x' - x| < \delta\), ta có \(|y_2(x') - y_2(x)| < \varepsilon\). Để chứng minh tính liên tục của hàm số này, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp khác. Ta biết rằng hàm căn bậc hai là một hàm liên tục trên miền xác định của nó, tức là \(\sqrt{x}\) liên tục trên \(\mathbb{R}_+\). Vì vậy, hàm số \(y_2 = \sqrt{x}\) cũng liên tục trên \(\mathbb{R}_+\). Từ đó, chúng ta đã chứng minh được tính liên tục của cả hai hàm số \(y_1 = ax + b\) và \(y_2 = \sqrt{x}\) trên miền xác định của chúng. Với những kết quả trên, chúng ta có thể kết luận rằng cả hai hàm số này đều liên tục trên miền xác định của chúng.