Tìm cực trị của hàm số \( f(x, y)=-x^{2}+2 y^{3}+8 x-54 y-2 \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cực trị của hàm số \( f(x, y)=-x^{2}+2 y^{3}+8 x-54 y-2 \). Để làm điều này, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp tính toán và phân tích để xác định các điểm cực trị của hàm số. Đầu tiên, chúng ta cần tìm các điểm cực trị bằng cách tìm các điểm mà đạo hàm riêng của hàm số bằng 0. Để làm điều này, chúng ta tính đạo hàm riêng theo x và y của hàm số và giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = -2x + 8 = 0 \\ \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 6y^2 - 54 = 0 \end{cases} \] Từ đó, ta có: \[ \begin{cases} x = 4 \\ y = \pm 3 \end{cases} \] Vậy, các điểm cực trị của hàm số là (4, 3) và (4, -3). Tiếp theo, chúng ta cần kiểm tra xem các điểm cực trị này là điểm cực đại hay điểm cực tiểu. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng định lý hai của Lagrange hoặc kiểm tra đạo hàm riêng thứ hai của hàm số tại các điểm cực trị. Đạo hàm riêng thứ hai của hàm số là: \[ \begin{cases} \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} = -2 \\ \frac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}} = 12y \end{cases} \] Để kiểm tra tính chất của các điểm cực trị, chúng ta thay các giá trị của x và y vào đạo hàm riêng thứ hai và xem kết quả. Tại điểm (4, 3), ta có: \[ \begin{cases} \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} = -2 \\ \frac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}} = 36 \end{cases} \] Vì \(\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} < 0\) và \(\frac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}} > 0\), nên điểm (4, 3) là điểm cực tiểu. Tương tự, tại điểm (4, -3), ta có: \[ \begin{cases} \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} = -2 \\ \frac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}} = -36 \end{cases} \] Vì \(\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}} < 0\) và \(\frac{{\partial^2 f}}{{\partial y^2}} < 0\), nên điểm (4, -3) là điểm cực đại. Tóm lại, các điểm cực trị của hàm số \( f(x, y)=-x^{2}+2 y^{3}+8 x-54 y-2 \) là (4, 3) và (4, -3), trong đó điểm (4, 3) là điểm cực tiểu và điểm (4, -3) là điểm cực đại.