Câu 2 (6 điểm): Mối liên hệ là gì? Trình bày các tính chất của mối liên hệ, mỗi tính chất, cho ví dụ phân tích.

## Câu 2: Mối liên hệ**Mối liên hệ** trong toán học là một tập hợp con của tích Descartes của hai tập hợp. Nói cách khác, nếu ta có hai tập hợp A và B, mối liên hệ R từ A đến B là một tập hợp con của A x B (tích Descartes của A và B), ký hiệu là R ⊆ A x B. Mỗi phần tử của R là một cặp có thứ tự (a, b) với a ∈ A và b ∈ B, thể hiện mối quan hệ giữa phần tử a của A và phần tử b của B.**Các tính chất của mối liên hệ:** Một mối liên hệ R trên một tập hợp A (tức là R ⊆ A x A) có thể có các tính chất sau:**1. Tính phản xạ (Reflexive):*** **Định nghĩa:** Mối liên hệ R trên A được gọi là phản xạ nếu với mọi a ∈ A, ta có (a, a) ∈ R. Nói cách khác, mọi phần tử trong A đều liên hệ với chính nó.* **Ví dụ:** Xét tập hợp A = {1, 2, 3} và mối liên hệ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)}. R là một mối liên hệ phản xạ vì tất cả các cặp (a, a) với a ∈ A đều thuộc R. Ví dụ khác: Mối liên hệ "bằng nhau" trên tập hợp số thực là phản xạ vì mọi số thực đều bằng chính nó.* **Ví dụ phản ví dụ:** Mối liên hệ "lớn hơn" trên tập hợp số tự nhiên không phải là phản xạ vì không có số tự nhiên nào lớn hơn chính nó.**2. Tính đối xứng (Symmetric):*** **Định nghĩa:** Mối liên hệ R trên A được gọi là đối xứng nếu với mọi a, b ∈ A, nếu (a, b) ∈ R thì (b, a) ∈ R.* **Ví dụ:** Xét tập hợp A = {1, 2, 3} và mối liên hệ R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}. R là đối xứng vì nếu (a, b) ∈ R thì (b, a) cũng ∈ R. Ví dụ khác: Mối liên hệ "là anh em ruột" trên tập hợp con người là đối xứng (nếu A là anh em ruột của B thì B cũng là anh em ruột của A).* **Ví dụ phản ví dụ:** Mối liên hệ "lớn hơn" trên tập hợp số tự nhiên không phải là đối xứng. Nếu a > b thì b không thể lớn hơn a.**3. Tính phản đối xứng (Antisymmetric):*** **Định nghĩa:** Mối liên hệ R trên A được gọi là phản đối xứng nếu với mọi a, b ∈ A, nếu (a, b) ∈ R và (b, a) ∈ R thì a = b.* **Ví dụ:** Xét tập hợp A = {1, 2, 3} và mối liên hệ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)}. R là phản đối xứng. Chỉ có khi a = b thì cả (a,b) và (b,a) mới cùng thuộc R. Ví dụ khác: Mối liên hệ "nhỏ hơn hoặc bằng" trên tập hợp số thực là phản đối xứng.* **Ví dụ phản ví dụ:** Mối liên hệ "là anh em ruột" không phải là phản đối xứng vì nếu A là anh em ruột của B và B là anh em ruột của A thì A và B không nhất thiết phải là cùng một người.**4. Tính bắc cầu (Transitive):*** **Định nghĩa:** Mối liên hệ R trên A được gọi là bắc cầu nếu với mọi a, b, c ∈ A, nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R thì (a, c) ∈ R.* **Ví dụ:** Xét tập hợp A = {1, 2, 3} và mối liên hệ R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}. R là bắc cầu. Ví dụ khác: Mối liên hệ "nhỏ hơn" trên tập hợp số thực là bắc cầu. Nếu a < b và b < c thì a < c.* **Ví dụ phản ví dụ:** Mối liên hệ "là bạn thân" không nhất thiết là bắc cầu. Nếu A là bạn thân của B và B là bạn thân của C thì A chưa chắc đã là bạn thân của C.Một mối liên hệ có thể có một hoặc nhiều tính chất trên, hoặc không có tính chất nào. Ví dụ, mối liên hệ "bằng nhau" trên tập hợp số thực là phản xạ, đối xứng, phản đối xứng và bắc cầu. Mối liên hệ "nhỏ hơn hoặc bằng" là phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu nhưng không đối xứng.