Câu 8 [Q451855537] Cho a,b,n là các số thự c với a,b dư ơng và aneq 1 . Mệnh đề nà sau 1 đây / là đúng A. log_(a^n)b=(1)/(n)log_(a)b(nneq 0) B. log_(a)b^n=log_(a)(nb) log_(a)sqrt [n](b)=nlog_(a)b(nin N,ngeqslant 2) D. log_(a^n)b=nlog_(a)b

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng lựa chọn để xem cái nào là đúng.<br /><br />A. \(log_{a^{n}}b=\frac {1}{n}log_{a}b(n\neq 0)\)<br />Sử dụng quy tắc đổi cơ số của logar ta có:<br />\[log_{a^{n}}b = \frac{log_{a}b}{log_{a}a^{n}} = \frac{log_{a}b}{n}\]<br />Nhưng \(\frac {1}{n}log_{a}b\) không bằng \(\frac{log_{a}b}{n}\) trừ khi \(n = 1\), nhưng theo điều kiện đề bài thì \(a \neq 1\).<br /><br />B. \(log_{a}b^{n}=log_{a}(nb)\)<br />Sử dụng quy tắc mũ của logarit, ta có:<br />\[log_{a}b^{n} = n \cdot log_{a}b\]<br />Nhưng \(log_{a}(nb)\) không bằng \(n \cdot log_{a}b\) trừ khi \(b = 1\) hoặc \(a = 1\), nhưng theo điều kiện đề bài thì \(a \neq 1\) và không có thông tin về \(b\).<br /><br />C. \(log_{a}\sqrt [n]{b}=nlog_{a}b(n\in N,n\geqslant 2)\)<br />Sử dụng quy tắc căn của logarit, ta có:<br />\[log_{a}\sqrt [n]{b} = log_{a}b^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot log_{a}b\]<br />Nhưng \(n \cdot log_{a}b\) không bằng \(\frac{1}{n} \cdot log_{a}b\) trừ khi \(n = 1\), nhưng theo điều kiện đề bài thì \(n \geqslant 2\).<br /><br />D. \(log_{a^{n}}b=nlog_{a}b\)<br />Sử dụng quy tắc đổi cơ số của logarit, ta có:<br />\[log_{a^{n}}b = \frac{log_{a}b}{log_{a}a^{n}} = \frac{log_{a}b}{n} = n \cdot log_{a}b\]<br />Điều này phù hợp với lựa chọn D.<br /><br />Vậy, mệnh đề đúng trong các lựa chọn trên là D. \(log_{a^{n}}b=nlog_{a}b\).