Bài 1. Cho tam giác ABC có hat (A)=60^circ , hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. a) Chứng minh rằng tứ giác ADIE nôi tiếp và ID=IE b) Đường thẳng BC cắt đường tròn (BEI) tại K. Chứng minh rằng CKID là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh rằng DE là trung trực của AK .

**a) Chứng minh tứ giác ADIE nội tiếp và ID=IE:**<br /><br />Trong tam giác ABC, $\angle A = 60^{\circ}$. Vì BD và CE là các đường phân giác nên $\angle IBC = \angle ICB = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$. Do đó, tam giác IBC đều.<br /><br />Ta có $\angle DIE = 180^{\circ} - \angle BIC = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle IBC - \angle ICB) = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ}) = 120^{\circ}$.<br /><br />Trong tam giác ADE, $\angle DAE = 60^{\circ}$, $\angle ADE = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$ (do AD=AE). Vậy tam giác ADE đều. Suy ra $\angle AED = 60^{\circ}$.<br /><br />$\angle IDE = 180^{\circ} - \angle ADE = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.<br /><br />Vì $\angle DIE = \angle IDE = 120^{\circ}$, tứ giác ADIE nội tiếp.<br /><br />Trong tam giác ADE đều, ID và IE là các đường phân giác nên ID = IE.<br /><br /><br />**b) Chứng minh CKID là tứ giác nội tiếp:**<br /><br />Vì tứ giác ADIE nội tiếp nên $\angle DAI = \angle DEI = 60^{\circ}$.<br /><br />K thuộc đường tròn (BEI), nên $\angle BKE = \angle BIE = 120^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn cung BE).<br /><br />$\angle CKI = 180^{\circ} - \angle BKI = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.<br /><br />$\angle CDI = 180^{\circ} - \angle ADI = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.<br /><br />Trong tam giác IBC đều, $\angle BIC = 120^{\circ}$. $\angle BKC = 180^{\circ} - \angle BIC = 60^{\circ}$.<br /><br />$\angle CKI + \angle CDI = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$. Vậy CKID nội tiếp.<br /><br /><br />**c) Chứng minh DE là trung trực của AK:**<br /><br />Vì tam giác ADE đều nên DE là trung trực của AE. Ta đã chứng minh CKID nội tiếp, nên $\angle CKD = \angle CID = 120^{\circ}$. Mà $\angle AKB = 120^{\circ}$, nên $\angle AKC = 60^{\circ}$.<br /><br />Trong tam giác AKC, $\angle KAC = 60^{\circ}$, $\angle AKC = 60^{\circ}$, suy ra tam giác AKC đều. Do đó, AC = AK = KC.<br /><br />Vì $\angle DAE = \angle BAC = 60^{\circ}$, nên D, A, C thẳng hàng. DE là trung trực của AD, và AD = AE. Vì AK = AC, nên DE là trung trực của AK.<br /><br /><br />Đáp án đúng là các chứng minh trên.<br />