Bài 10 :Chứng tỏ : A=1-(1)/(2^2)-(1)/(3^2)-(1)/(4^2)-ldots ldots ldots -(1)/(10^2)gt 0

Ta có thể chứng minh A > 0 bằng cách so sánh từng phân số với một giá trị lớn hơn. Tuy nhiên, cách tiếp cận hiệu quả hơn là sử dụng bất đẳng thức. Ta biết rằng $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$ với mọi n ≥ 2.<br /><br />Áp dụng bất đẳng thức này, ta có:<br /><br />$A = 1 - \sum_{n=2}^{10} \frac{1}{n^2} > 1 - \sum_{n=2}^{10} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)$<br /><br />Tổng $\sum_{n=2}^{10} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)$ là một tổng telescoping, thu gọn lại thành:<br /><br />$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$<br /><br />Do đó: $A > 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} > 0$<br /><br />Vậy A > 0.<br />