Tính giới hạn của biểu thức \(\lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)\)

Trước khi tính giới hạn của biểu thức \(\lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)\), chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của biểu thức này. Biểu thức này đại diện cho sự khác biệt giữa căn bậc hai của hai biểu thức \(n^{2}+2 n\) và \(n^{2}+1\). Chúng ta sẽ xem xét xem khi n tiến đến vô cùng, biểu thức này có giới hạn là bao nhiêu. Để tính giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp như sử dụng định nghĩa của giới hạn hoặc sử dụng các quy tắc giới hạn đã được biết đến. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc giới hạn của các biểu thức căn bậc hai. Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân đối với biểu thức \(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt{n^{2}+1}\) để loại bỏ dấu trừ. Khi làm như vậy, chúng ta nhận được biểu thức \(\frac{(n^{2}+2 n)-(n^{2}+1)}{\sqrt{n^{2}+2 n}+\sqrt{n^{2}+1}}\). Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện phép chia đối với biểu thức trên. Khi làm như vậy, chúng ta nhận được biểu thức \(\frac{2 n-1}{\sqrt{n^{2}+2 n}+\sqrt{n^{2}+1}}\). Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét giới hạn của biểu thức này khi n tiến đến vô cùng. Khi n tiến đến vô cùng, ta có thể thấy rằng phần tử số 2n trong tử số và mẫu số sẽ chiếm ưu thế và có giá trị lớn hơn so với các phần tử khác. Do đó, chúng ta có thể xem xét giới hạn của biểu thức này bằng cách xem xét giới hạn của \(\frac{2 n}{\sqrt{n^{2}+2 n}+\sqrt{n^{2}+1}}\). Khi n tiến đến vô cùng, ta có thể xem xét giới hạn của \(\frac{2 n}{\sqrt{n^{2}+2 n}+\sqrt{n^{2}+1}}\) bằng cách sử dụng quy tắc giới hạn của các biểu thức căn bậc hai. Theo quy tắc này, chúng ta có thể xem xét giới hạn của \(\frac{2 n}{\sqrt{n^{2}+2 n}+\sqrt{n^{2}+1}}\) bằng cách xem xét giới hạn của \(\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\). Khi n tiến đến vô cùng, ta có thể thấy rằng phần tử số 2 trong tử số sẽ chiếm ưu thế và có giá trị lớn hơn so với các phần tử khác. Do đó, chúng ta có thể xem xét giới hạn của biểu thức này bằng cách xem xét giới hạn của \(\frac{2}{\sqrt{1}}\). Vì \(\sqrt{1}=1\), ta có thể kết luận rằng giới hạn của biểu thức \(\lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)\) là 2. Tóm lại, giới hạn của biểu thức \(\lim \left(\sqrt{n^{2}+2 n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)\) là 2.