Giải tích phân: Tích phân của hàm logarithm và hàm nghịch đảo

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân của hàm logarithm và hàm nghịch đảo. Cụ thể, chúng ta sẽ giải tích phân của hàm \( \frac{\ln x+1}{x} \) trên đoạn \([1, e]\). Đầu tiên, chúng ta cần xác định xem hàm \( \frac{\ln x+1}{x} \) có tích phân xác định trên đoạn \([1, e]\) hay không. Để làm điều này, chúng ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm trên đoạn này. Ta thấy rằng hàm logarithm và hàm nghịch đảo đều liên tục trên đoạn \([1, e]\), do đó hàm \( \frac{\ln x+1}{x} \) cũng liên tục trên đoạn này. Vì vậy, tích phân của hàm này trên đoạn \([1, e]\) là xác định. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân của hàm \( \frac{\ln x+1}{x} \) trên đoạn \([1, e]\). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc tích phân của hàm logarithm và hàm nghịch đảo. Quy tắc này cho phép chúng ta tính tích phân của hàm \( \frac{\ln x+1}{x} \) bằng cách tính tích phân của hàm logarithm và hàm nghịch đảo riêng lẻ trên đoạn \([1, e]\) và sau đó lấy hiệu của hai tích phân này. Đầu tiên, chúng ta tính tích phân của hàm logarithm trên đoạn \([1, e]\). Quy tắc tích phân của hàm logarithm cho chúng ta biết rằng tích phân của hàm logarithm trên đoạn \([1, e]\) là bằng \( \ln e - \ln 1 = 1 \). Tiếp theo, chúng ta tính tích phân của hàm nghịch đảo trên đoạn \([1, e]\). Quy tắc tích phân của hàm nghịch đảo cho chúng ta biết rằng tích phân của hàm nghịch đảo trên đoạn \([1, e]\) là bằng \( e - 1 \). Cuối cùng, chúng ta lấy hiệu của hai tích phân này: \( 1 - (e - 1) = 2 - e \). Vậy kết quả của tích phân \( \int_{1}^{e} \frac{\ln x+1}{x} d x \) trên đoạn \([1, e]\) là \( 2 - e \). Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về tích phân của hàm logarithm và hàm nghịch đảo và đã giải tích phân của hàm \( \frac{\ln x+1}{x} \) trên đoạn \([1, e]\). Kết quả cuối cùng là \( 2 - e \).