Phân tích về cơ sở và ánh xạ tuyến tính trong không gian vectơ thực

Trong không gian vectơ thực \( \mathbb{R}^{3} \), chúng ta được cho một hệ vectơ \( S \) và một hệ vectơ \( T \). Yêu cầu của chúng ta là chứng minh rằng \( S \) là một cơ sở của \( \mathbb{R}^{3} \) và tìm một ánh xạ tuyến tính \( f \) sao cho \( f\left(u_{i}\right)=v_{i} \) với mọi \( i=1,2,3 \). Để chứng minh rằng \( S \) là một cơ sở của \( \mathbb{R}^{3} \), chúng ta cần chứng minh rằng \( S \) là một hệ độc lập và sinh ra \( \mathbb{R}^{3} \). Đầu tiên, chúng ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính của \( S \). Giả sử tồn tại các hệ số \( a_{1} \), \( a_{2} \), \( a_{3} \) sao cho \( a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} = \mathbf{0} \), trong đó \( \mathbf{0} \) là vectơ không. Từ phương trình này, ta có hệ thức sau: \[ \begin{cases} a_{1} + a_{2} = 0 \\ -a_{2} + a_{3} = 0 \\ 2a_{1} + a_{3} = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta có \( a_{1} = 0 \), \( a_{2} = 0 \), \( a_{3} = 0 \). Do đó, \( S \) là một hệ độc lập tuyến tính. Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng \( S \) sinh ra \( \mathbb{R}^{3} \). Để làm điều này, chúng ta cần chứng minh rằng mọi vectơ trong \( \mathbb{R}^{3} \) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong \( S \). Giả sử \( \mathbf{v} = (x, y, z) \) là một vectơ bất kỳ trong \( \mathbb{R}^{3} \). Ta cần tìm các hệ số \( b_{1} \), \( b_{2} \), \( b_{3} \) sao cho \( b_{1}u_{1} + b_{2}u_{2} + b_{3}u_{3} = \mathbf{v} \). Từ phương trình này, ta có hệ thức sau: \[ \begin{cases} b_{1} + b_{2} = x \\ -b_{2} + b_{3} = y \\ 2b_{1} + b_{3} = z \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta có \( b_{1} = x - y \), \( b_{2} = y \), \( b_{3} = x + y - 2z \). Do đó, mọi vectơ trong \( \mathbb{R}^{3} \) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong \( S \). Vì vậy, \( S \) sinh ra \( \mathbb{R}^{3} \). Tiếp theo, chúng ta cần tìm một ánh xạ tuyến tính \( f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) sao cho \( f\left(u_{i}\right)=v_{i} \) với mọi \( i=1,2,3 \). Để làm điều này, chúng ta xây dựng ma trận \( A \) sao cho \( A\mathbf{u}_{i} = \mathbf{v}_{i} \) với mọi \( i=1,2,3 \). Ta có: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Với ma trận \( A \) này, ta có \( A\mathbf{u}_{1} = \mathbf{v}_{1} \), \( A\mathbf{u}_{2} = \mathbf{v}_{2} \), \( A\mathbf{u}_{3} = \mathbf{v}_{3} \). Vì vậy, ánh xạ tuyến tính \( f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) được xác định bởi ma trận \( A \) là một ánh xạ thỏa mãn yêu cầu. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng \( S \) là một cơ sở của \( \mathbb{R}^{3} \) và đã tìm được một ánh xạ tuyến tính \( f \) sao cho \( f\left(u_{i}\right)=v_{i} \) với mọi \( i=1,2,3 \).