Giải phương trình bậc hai với logarit

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải phương trình bậc hai có chứa logarit. Cụ thể, chúng ta sẽ giải phương trình \( (\sqrt{10}+1)^{\log _{3} x}-(\sqrt{10}-1)^{\log _{3} x}=\frac{2 x}{3} \). Đây là một bài toán thú vị và đòi hỏi chúng ta áp dụng kiến thức về logarit và phương trình bậc hai. Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của logarit để đơn giản hóa phương trình. Chúng ta biết rằng \( a^{\log _{a} b} = b \), vì vậy ta có thể viết lại phương trình ban đầu thành \( (\sqrt{10}+1)^{\log _{3} x}-(\sqrt{10}-1)^{\log _{3} x}=\frac{2 x}{3} \) thành \( (\sqrt{10}+1)^{\log _{3} x}-(\sqrt{10}-1)^{\log _{3} x}=\frac{2 x}{3} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của phương trình bậc hai để giải phương trình này. Đầu tiên, chúng ta sẽ đặt \( y = \log _{3} x \), với điều kiện \( x > 0 \) và \( y > 0 \). Khi đó, phương trình ban đầu trở thành \( (\sqrt{10}+1)^{y}-(\sqrt{10}-1)^{y}=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ đặt \( a = \sqrt{10}+1 \) và \( b = \sqrt{10}-1 \). Khi đó, phương trình trở thành \( a^{y}-b^{y}=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với \( a^{y}+b^{y} \), ta được \( (a^{y}-b^{y})(a^{y}+b^{y})=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3}(a^{y}+b^{y}) \). Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức khai triển binomial để mở ngoặc trái và phải của phương trình. Khi đó, phương trình trở thành \( a^{2y}-b^{2y}=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3}(a^{y}+b^{y}) \). Tiếp theo, chúng ta sẽ đặt \( z = a^{y} \) và \( c = b^{y} \). Khi đó, phương trình trở thành \( z^{2}-c^{2}=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3}(z+c) \). Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với \( z+c \), ta được \( (z+c)(z-c)=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3}(z+c) \). Tiếp theo, chúng ta sẽ chia cả hai vế của phương trình cho \( z+c \), ta được \( z-c=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ đặt \( u = z-c \). Khi đó, phương trình trở thành \( u=\frac{2 \cdot 3^{y}}{3} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ đặt \( v = 3^{y} \). Khi đó, phương trình trở thành \( u=\frac{2v}{3} \). Cuối cùng, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị của \( y \) và sau đó tìm giá trị của \( x \) từ \( y \).