Xét đơn ánh, toàn ánh của ánh xạ

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét tính đơn ánh và toàn ánh của ánh xạ \(f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{-1\}\) được định nghĩa bởi \(x \mapsto y=\frac{2-x}{x+1}\). Để xác định tính đơn ánh của ánh xạ, ta cần kiểm tra xem liệu có hai giá trị \(x_1\) và \(x_2\) khác nhau mà tương ứng với cùng một giá trị \(y\) hay không. Điều này có nghĩa là, nếu \(f(x_1) = f(x_2)\), thì \(x_1 = x_2\). Giả sử \(f(x_1) = f(x_2)\), ta có \(\frac{2-x_1}{x_1+1} = \frac{2-x_2}{x_2+1}\). Bằng cách giải phương trình này, ta có thể tìm ra giá trị của \(x_1\) và \(x_2\). Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, chúng ta có thể nhân cả hai phía của phương trình với \((x_1+1)(x_2+1)\) để loại bỏ mẫu số. Khi làm như vậy, ta thu được \(2(x_1+1) - x_1(x_2+1) = 2(x_2+1) - x_2(x_1+1)\). Tiếp theo, ta mở ngoặc và rút gọn các thành phần để thu được \(x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2\). Từ đây, ta có thể thấy rằng \(x_1 = x_2\), vì các thành phần còn lại trên cả hai bên của phương trình là như nhau. Do đó, ánh xạ \(f\) là một ánh xạ đơn ánh. Để xác định tính toàn ánh của ánh xạ, ta cần kiểm tra xem liệu có mọi giá trị \(y\) trong miền giá trị của \(f\) đều có tương ứng với một giá trị \(x\) trong miền xác định của \(f\) hay không. Điều này có nghĩa là, với mọi \(y\) trong miền giá trị của \(f\), ta phải tìm được ít nhất một giá trị \(x\) sao cho \(f(x) = y\). Để giải phương trình \(f(x) = y\), ta thay \(y\) vào công thức của \(f\) và giải phương trình tương ứng. Trong trường hợp này, ta có \(\frac{2-x}{x+1} = y\). Bằng cách giải phương trình này, ta có thể tìm ra giá trị của \(x\) tương ứng với mỗi giá trị \(y\). Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, chúng ta có thể nhân cả hai phía của phương trình với \(x+1\) để loại bỏ mẫu số. Khi làm như vậy, ta thu được \(2-x = y(x+1)\). Tiếp theo, ta mở ngoặc và rút gọn các thành phần để thu được \(2-x = xy + y\). Từ đây, ta có thể thấy rằng \(x = \frac{2-y}{1+y}\). Do đó, với mọi giá trị \(y\) trong miền giá trị của \(f\), ta luôn tìm được một giá trị \(x\) tương ứng. Do đó, ánh xạ \(f\) là một ánh xạ toàn ánh. Tóm lại, ánh xạ \(f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{-1\}\) được định nghĩa bởi \(x \mapsto y=\frac{2-x}{x+1}\) là một ánh xạ đơn ánh và toàn ánh.