Giải các bài toán lượng giác và dãy số

Giới thiệu: Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác và dãy số. Chúng ta sẽ giải quyết các câu hỏi về tính giá trị của hàm lượng giác, tìm nghiệm của phương trình lượng giác, tính hạng của dãy số và xác định số lượng giá trị nguyên của m để các phương trình lượng giác có nghiệm. Phần 1: Tính giá trị của hàm lượng giác Câu 1: Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa $sin\alpha =\frac{3}{5}$ và $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$. Tính $\cos\alpha$. Giải: Sử dụng công thức $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, ta có $cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$. Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Giải: Nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ hoặc $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, với k là số nguyên. Phần 2: Tính hạng của dãy số Câu 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = 3n - 2$ với $n \geq 1$. Tìm hạng thứ sáu của dãy số. Giải: Thứ sáu của dãy số là $u_6 = 3(6) - 2 = 16$. Câu 4: Cho các dãy số $(v_n)$, $(w_n)$, $(t_n)$ và $(u_n)$ với $u_n = -\frac{3}{2}n + 10$, $v_n = 3n - 1$, $w_n = \frac{5}{2}n + 4$ và $t_n = 8n - 5$. Có bao nhiêu dãy số giảm? Giải: Dãy số giảm khi hệ số của n dương và hằng số âm. Trong các dãy số trên, chỉ có dãy $(u_n)$ giảm. Vậy có 1 dãy số giảm. Câu 5: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để các phương trình lượng giác sau có nghiệm $2sin3x = m - 1$. Giải: Để phương trình có nghiệm, $m - 1$ phải thuộc khoảng [-2, 2]. Vậy các giá trị nguyên của m là -1, 0, 1. Câu 6: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \frac{a_n + 2}{n + 1}$ với a là tham số. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của a để dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng. Giải: Để dãy số tăng, $\frac{a_{n+1} + 2}{(n+1) + 1} > \frac{a_n + 2}{n + 1}$, suy ra $a_{n+1} > a_n$. Vậy a phải lớn hơn 1. Giá trị nguyên nhỏ nhất của a là 2. Kết luận: Trong bài viết này, chúng ta đã giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác và dãy số. Chúng ta đã tính giá trị của hàm lượng giác, tìm nghiệm của phương trình lượng giác, tính hạng của dãy số và xác định số lượng giá trị nguyên của m để các phương trình lượng giác có nghiệm. Việc giải quyết các bài toán này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các khái niệm và ứng dụng của chúng trong toán học.