Chứng minh rằng quan hệ \( \Re \) là một quan hệ tương đương

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng quan hệ \( \Re \) được định nghĩa trên tập \( X \) là một quan hệ tương đương. Quan hệ \( \Re \) được xác định bởi điều kiện \( \forall x, y \in \mathrm{X}: x \Re y \Leftrightarrow f(x)=f(y) \). Để chứng minh rằng \( \Re \) là một quan hệ tương đương, chúng ta cần chứng minh ba điều kiện: đối xứng, bắc cầu và bắc thang. Đầu tiên, chúng ta chứng minh tính đối xứng của \( \Re \). Giả sử \( x \Re y \), tức là \( f(x) = f(y) \). Từ đó, ta có \( f(y) = f(x) \), tức là \( y \Re x \). Do đó, \( \Re \) là một quan hệ đối xứng. Tiếp theo, chúng ta chứng minh tính bắc cầu của \( \Re \). Giả sử \( x \Re y \) và \( y \Re z \), tức là \( f(x) = f(y) \) và \( f(y) = f(z) \). Từ đó, ta có \( f(x) = f(z) \), tức là \( x \Re z \). Do đó, \( \Re \) là một quan hệ bắc cầu. Cuối cùng, chúng ta chứng minh tính bắc thang của \( \Re \). Giả sử \( x \Re y \) và \( y \Re z \), tức là \( f(x) = f(y) \) và \( f(y) = f(z) \). Từ đó, ta có \( f(x) = f(z) \), tức là \( x \Re z \). Tương tự, giả sử \( x \Re z \), tức là \( f(x) = f(z) \). Ta có thể chọn \( y \) sao cho \( f(y) = f(x) \) và \( f(y) = f(z) \). Từ đó, ta có \( x \Re y \) và \( y \Re z \). Do đó, \( \Re \) là một quan hệ bắc thang. Với ba điều kiện trên, chúng ta đã chứng minh rằng quan hệ \( \Re \) là một quan hệ tương đương. Trên đây là chứng minh rằng quan hệ \( \Re \) được định nghĩa trên tập \( X \) là một quan hệ tương đương. Quan hệ này có tính chất đối xứng, bắc cầu và bắc thang.