Phân Tích Và Ứng Dụng Công Thức Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Hình Học Không Gian

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Phân Tích Và Ứng Dụng Công Thức Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Hình Học Không Gian</h2>

Trong hình học không gian, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là một vấn đề thường gặp. Hiểu rõ công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và cách áp dụng nó vào các bài toán cụ thể là điều cần thiết để giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan đến hình học không gian. Bài viết này sẽ phân tích chi tiết công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng áp dụng công thức này.

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Khái niệm về góc giữa hai mặt phẳng</h2>

Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc nhỏ nhất giữa hai đường thẳng, mỗi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Góc này được ký hiệu là $\alpha$.

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng</h2>

Để tính góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta có thể sử dụng công thức sau:

$\cos \alpha = \left| \frac{\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}}{||\overrightarrow{n_1}||.||\overrightarrow{n_2}||} \right|$

Trong đó:

* $\overrightarrow{n_1}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.

* $\overrightarrow{n_2}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$.

* $||\overrightarrow{n_1}||$ và $||\overrightarrow{n_2}||$ lần lượt là độ dài của các véc tơ pháp tuyến.

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Các bước tính góc giữa hai mặt phẳng</h2>

Để tính góc giữa hai mặt phẳng, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

1. <strong style="font-weight: bold;">Xác định véc tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:</strong> Tìm véc tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$.

2. <strong style="font-weight: bold;">Tính tích vô hướng của hai véc tơ pháp tuyến:</strong> Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$.

3. <strong style="font-weight: bold;">Tính độ dài của các véc tơ pháp tuyến:</strong> Tính độ dài của $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$.

4. <strong style="font-weight: bold;">Áp dụng công thức:</strong> Thay các giá trị đã tính được vào công thức $\cos \alpha = \left| \frac{\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}}{||\overrightarrow{n_1}||.||\overrightarrow{n_2}||} \right|$ để tìm $\cos \alpha$.

5. <strong style="font-weight: bold;">Tìm góc $\alpha$: </strong> Sử dụng máy tính cầm tay hoặc bảng lượng giác để tìm góc $\alpha$ từ giá trị $\cos \alpha$.

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Ví dụ minh họa</h2>

<strong style="font-weight: bold;">Bài toán:</strong> Cho hai mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - z + 1 = 0$ và $(\beta): 2x - y + 3z - 2 = 0$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$.

<strong style="font-weight: bold;">Giải:</strong>

1. <strong style="font-weight: bold;">Xác định véc tơ pháp tuyến:</strong> Véc tơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_1} = (1, 2, -1)$ và véc tơ pháp tuyến của $(\beta)$ là $\overrightarrow{n_2} = (2, -1, 3)$.

2. <strong style="font-weight: bold;">Tính tích vô hướng:</strong> $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2} = 1.2 + 2.(-1) + (-1).3 = -3$.

3. <strong style="font-weight: bold;">Tính độ dài:</strong> $||\overrightarrow{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ và $||\overrightarrow{n_2}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.

4. <strong style="font-weight: bold;">Áp dụng công thức:</strong> $\cos \alpha = \left| \frac{-3}{\sqrt{6}.\sqrt{14}} \right| = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

5. <strong style="font-weight: bold;">Tìm góc $\alpha$: </strong> $\alpha = \arccos \left( \frac{\sqrt{21}}{14} \right) \approx 67,79^\circ$.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là khoảng $67,79^\circ$.

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Kết luận</h2>

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian. Việc hiểu rõ công thức và cách áp dụng nó vào các bài toán cụ thể sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải quyết các bài tập hình học không gian một cách hiệu quả.