Chứng minh rằng nếu \( S_{1} \) và \( S_{3} \) chia hết cho \( p \) thì \( S_{2023} \) cũng chia hết cho \( p \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu \( S_{1} \) và \( S_{3} \) chia hết cho \( p \), thì \( S_{2023} \) cũng chia hết cho \( p \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức và tính chất của các số nguyên để chứng minh định lý này. Đầu tiên, chúng ta xét công thức Newton-Girard, một công thức quan trọng trong lý thuyết đa thức. Công thức này cho phép chúng ta tính toán các hệ số của đa thức bậc cao dựa trên các hệ số của đa thức bậc thấp hơn. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng công thức Newton-Girard để tính toán \( S_{k} \) dựa trên \( S_{1} \) và \( S_{3} \). Theo công thức Newton-Girard, chúng ta có thể tính toán \( S_{k} \) theo công thức sau: \[ S_{k} = (-1)^{k} \cdot e_{1} \cdot S_{k-1} + (-1)^{k-1} \cdot e_{2} \cdot S_{k-2} + \ldots + (-1)^{1} \cdot e_{k-1} \cdot S_{1} + (-1)^{0} \cdot e_{k} \cdot S_{0} \] Trong đó, \( e_{i} \) là hệ số Newton-Girard và được tính bằng cách sử dụng các hệ số của đa thức bậc thấp hơn. Đối với trường hợp này, chúng ta chỉ quan tâm đến \( e_{1} \) và \( e_{3} \), vì chúng ta đã biết \( S_{1} \) và \( S_{3} \) chia hết cho \( p \). Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các số nguyên để chứng minh rằng nếu \( S_{1} \) và \( S_{3} \) chia hết cho \( p \), thì \( S_{2023} \) cũng chia hết cho \( p \). Đầu tiên, chúng ta biểu diễn \( S_{2023} \) dưới dạng tổng các lũy thừa bậc 1 của \( a, b, c, d \): \[ S_{2023} = a^{2023} + b^{2023} + c^{2023} + d^{2023} \] Tiếp theo, chúng ta sử dụng công thức Newton-Girard để biểu diễn \( S_{2023} \) dưới dạng tổng các lũy thừa bậc 1 của \( S_{1} \) và \( S_{3} \): \[ S_{2023} = (-1)^{2023} \cdot e_{1} \cdot S_{2022} + (-1)^{2022} \cdot e_{2} \cdot S_{2021} + \ldots + (-1)^{1} \cdot e_{2022} \cdot S_{1} + (-1)^{0} \cdot e_{2023} \cdot S_{0} \] Vì \( S_{1} \) và \( S_{3} \) chia hết cho \( p \), nên các hệ số \( e_{1} \) và \( e_{3} \) cũng chia hết cho \( p \). Do đó, ta có thể viết lại công thức tr