Tính đạo hàm của hàm f(x)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính đạo hàm của hàm f(x) được cho bởi công thức sau đây: \[ f(x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{t^{2}}{t^{4}+1} dt \] Để tính đạo hàm của hàm f(x), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc Fundamental Theorem of Calculus. Theo quy tắc này, nếu hàm f(x) có dạng \[ f(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt \], thì đạo hàm của hàm f(x) sẽ là hàm g(x). Trong trường hợp của chúng ta, hàm f(x) có dạng \[ f(x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{t^{2}}{t^{4}+1} dt \]. Để tính đạo hàm của hàm này, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm g(t) = \[ \frac{t^{2}}{t^{4}+1} \]. Để tính đạo hàm của hàm g(t), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc Chain Rule. Theo quy tắc này, nếu hàm g(t) có dạng \[ g(t) = \frac{u(t)}{v(t)} \], thì đạo hàm của hàm g(t) sẽ là \[ g'(t) = \frac{u'(t)v(t) - u(t)v'(t)}{(v(t))^2} \]. Áp dụng quy tắc Chain Rule vào hàm g(t) = \[ \frac{t^{2}}{t^{4}+1} \], chúng ta có: \[ g'(t) = \frac{(2t)(t^{4}+1) - (t^{2})(4t^{3})}{(t^{4}+1)^2} \] Simplifying the expression, we get: \[ g'(t) = \frac{2t^{5} + 2t - 4t^{5}}{(t^{4}+1)^2} \] \[ g'(t) = \frac{-2t^{5} + 2t}{(t^{4}+1)^2} \] Now, we have the derivative of g(t), which is g'(t). To find the derivative of f(x), we substitute g'(t) back into the original integral: \[ f'(x) = g'(\sqrt{x}) \] \[ f'(x) = \frac{-2(\sqrt{x})^{5} + 2(\sqrt{x})}{((\sqrt{x})^{4}+1)^2} \] Simplifying the expression, we get: \[ f'(x) = \frac{-2x^{5/2} + 2\sqrt{x}}{(x^{2}+1)^2} \] So, the derivative of the function f(x) is given by: \[ f'(x) = \frac{-2x^{5/2} + 2\sqrt{x}}{(x^{2}+1)^2} \] In conclusion, we have successfully calculated the derivative of the function f(x) using the Fundamental Theorem of Calculus and the Chain Rule.