Tìm phần tử (1,1) của ma trận A^1

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính phần tử (1,1) của ma trận A^10. Đầu tiên, hãy xem xét ma trận A: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \] Để tính A^10, chúng ta có thể nhân ma trận A với chính nó 9 lần: \[ A^2 = A \cdot A \] \[ A^3 = A^2 \cdot A \] \[ A^4 = A^3 \cdot A \] \[ \vdots \] \[ A^{10} = A^9 \cdot A \] Tuy nhiên, để tính A^9, chúng ta có thể sử dụng một cách tính toán thông minh. Nhận thấy rằng ma trận A có một đặc điểm đặc biệt: tất cả các phần tử đều bằng nhau. Do đó, ta có thể viết lại ma trận A như sau: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \] Như vậy, ta có thể viết A dưới dạng tổng của hai ma trận đơn vị: \[ A = I + J \] Trong đó, I là ma trận đơn vị và J là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 1. Bây giờ, chúng ta hãy tính A^9: \[ A^9 = (I + J)^9 \] Để tính (I + J)^9, chúng ta có thể sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (I + J)^9 = \binom{9}{0} I^9 J^0 + \binom{9}{1} I^8 J^1 + \binom{9}{2} I^7 J^2 + \ldots + \binom{9}{9} I^0 J^9 \] Với mỗi mũ I^k J^(9-k), ta có thể tính được giá trị của nó. Vì I là ma trận đơn vị, nên I^k sẽ luôn bằng I. Và vì J có tất cả các phần tử đều bằng 1, nên J^k sẽ luôn bằng ma trận có tất cả các phần tử đều bằng k. Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (I + J)^9 = \binom{9}{0} I^9 J^0 + \binom{9}{1} I^8 J^1 + \binom{9}{2} I^7 J^2 + \ldots + \binom{9}{9} I^0 J^9 \] \[ = I^9 + 9I^8J + 36I^7J^2 + \ldots + 9IJ^8 + J^9 \] Vì I^9 = I và J^9 = J, ta có: \[ (I + J)^9 = I + 9I^8J + 36I^7J^2 + \ldots + 9IJ^8 + J \] Như vậy, ta đã tính được A^9. Bây giờ, chúng ta chỉ cần nhân A^9 với A để tính A^10: \[ A^{10} = A^9 \cdot A \] Thay vào giá trị của A^9, ta có: \[ A^{10} = (I + 9I^8J + 36I^7J^2 + \ldots + 9IJ^8 + J) \cdot A \] \[ = I \cdot A + 9I^8J \cdot A + 36I^7J^2 \cdot A + \ldots + 9IJ^8 \cdot A + J \cdot A \] Vì I là ma trận đơn vị, nên I^k = I với mọi k. Vì J có tất cả các phần tử đều bằng 1, nên J^k sẽ luôn bằng ma trận có tất cả các phần tử đều bằng k. Do đó, ta có: \[ I \cdot A = A \] \[ I^8J \cdot A = 8JA \] \[ I^7J^2 \cdot A = 7J^2A \] \[ \ldots \] \[ IJ^8 \cdot A = JA^8 \] \[ J \cdot A = JA \] Thay vào các giá trị đã tính được, ta có: \[ A^{10} = A + 9JA + 36J^2A + \ldots + 9JA^8 + JA \] \[ = A + 9A + 36A + \ldots + 9A^8 + A \] \[ = 10A + 9A^2 + 9A^3 + \ldots + 9A^8 \] Bây giờ, chúng ta có thể tính phần tử (1,1) của ma trận A^10 bằng cách nhân ma trận A^10 với ma trận đơn vị: \[ A^{10} = 10A + 9A^2 + 9A^3 + \ldots + 9A^8 \] \[ (1,1) \text{-entry of } A^{10} = (1,1) \text{-entry of } (10A + 9A^2 + 9A^3 + \ldots + 9A^8) \] Tuy nhiên, để tính phần tử (1,1) của ma trận A^10, chúng ta chỉ cần quan tâm đến phần tử (1,1) của mỗi ma trận trong tổng trên. Vì tất cả các phần tử của ma trận A đều bằng nhau, nên phần tử (1,1) của mỗi ma trận A^k sẽ cũng bằng nhau. Do đó, ta có: \[ (1,1) \text{-entry of } A^{10} = (1,1) \text{-entry of } (10A + 9A^2 + 9A^3 + \ldots + 9A^8) \] \[ = 10 \cdot (1,1) \text{-entry of } A + 9 \cdot (1,1) \text{-entry of } A^2 + 9 \cdot (1,1) \text{-entry of } A^3 + \ldots + 9 \cdot (1,1) \text{-entry of } A^8 \] Vì tất cả các phần tử của ma trận A đều bằng nhau, nên phần tử (1,1) của mỗi ma trận A^k sẽ cũng bằng nhau. Do đó, ta có: \[ (1,1) \text{-entry of } A^{10} = 10 \cdot (1,1) \text{-entry of } A + 9 \cdot (1,1) \text{-entry of } A^2 + 9 \cdot (1,1) \text{-entry of } A^3 + \ldots + 9 \cdot (1,1) \text{-entry of } A^8 \] \[ = 10 \cdot 1 + 9 \cdot 1 + 9 \cdot 1 + \ldots + 9 \cdot 1 \] \[ = 10 + 9 + 9 + \ldots + 9 \] \[ = 10 + 9 \cdot 9 \] \[ = 10 + 81 \] \[ = 91 \] Vậy, phần tử (1,1) của ma trận A^10 là 91.